Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Probabilidade — FUNDATEC 2024

MatemáticaProbabilidade
Código
qg170956
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Cruz Alta - RS
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor de Ensino Fundamental - Matemática
A partir de um grupo formado por 3 homens e 5 mulheres, serão formados, de forma aleatória, 2 grupos de 4 pessoas. A probabilidade de que um desses grupos tenha exatamente 1 homem e 3 mulheres é, aproximadamente:
  1. A60%.
  2. B43%.
  3. C25%.
  4. D17%.
  5. E10%.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 43%.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a A probabilidade é de aproximadamente 43%, portanto a alternativa correta é a letra B..

A ideia por trás

A probabilidade clássica mede a chance de um evento acontecer como a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis, quando todos os resultados são igualmente prováveis. Para contar agrupamentos onde a ordem não importa, usamos combinações: C(n,k) = n! / (k!(n-k)!), que dá o número de maneiras de escolher k elementos entre n. A combinação cresce com n e com k, mas de forma não linear: por exemplo, C(8,4) = 70, enquanto C(3,1) = 3 e C(5,3) = 10. Nesta questão, precisamos contar de quantas maneiras podemos formar um grupo de 4 pessoas a partir de 8, e quantas dessas maneiras têm exatamente 1 homem e 3 mulheres; a razão entre esses números é a probabilidade pedida.

O que a questão dá

  • 3 homens

  • 5 mulheres

  • total de 8 pessoas

  • 2 grupos de 4 pessoas

O que queremos: a probabilidade de um dos grupos ter exatamente 1 homem e 3 mulheres

Passo 1 — Calcular o total de grupos possíveis

Para calcular uma probabilidade, precisamos primeiro saber quantos resultados possíveis existem. Aqui, cada resultado é um grupo de 4 pessoas escolhidas entre 8, sem importar a ordem. O número de maneiras de fazer essa escolha é dado pela combinação C(8,4).

Por que esta fórmula: Usamos combinação, e não arranjo, porque a ordem das pessoas dentro do grupo não importa: o grupo {Ana, Bruno, Carla, Diego} é o mesmo que {Bruno, Diego, Ana, Carla}.

C8,4=8!4!(8−4)!C_{8,4} = \frac{8!}{4!(8-4)!}

De onde vem cada valor: 88 = enunciado: total de pessoas · 44 = enunciado: tamanho de cada grupo

C8,4=8!4!⋅4!=4032024⋅24=70C_{8,4} = \frac{8!}{4! \cdot 4!} = \frac{40320}{24 \cdot 24} = 70

C8,4C_{8,4} = 70 grupos possíveis

NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo (8·7·6·5) em vez de combinação, o que daria 1680 e estaria errado porque a ordem não importa.

Passo 2 — Contar os grupos com 1 homem e 3 mulheres

Agora que sabemos o total de grupos possíveis, precisamos contar quantos deles têm exatamente 1 homem e 3 mulheres. Isso é feito escolhendo separadamente os homens e as mulheres que farão parte do grupo.

Por que esta fórmula: Como as escolhas de homens e mulheres são independentes, multiplicamos as combinações: escolher 1 homem entre 3 e 3 mulheres entre 5.

C3,1×C5,3C_{3,1} \times C_{5,3}

De onde vem cada valor: C3,1C_{3,1} = enunciado: 3 homens, escolher 1 · C5,3C_{5,3} = enunciado: 5 mulheres, escolher 3

C3,1×C5,3=3×10=30C_{3,1} \times C_{5,3} = 3 \times 10 = 30

30 grupos favoráveis

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar as duas combinações, ou calcular C(5,3) como 5·4·3 = 60 em vez de 10.

Passo 3 — Calcular a probabilidade

Com o número de casos favoráveis e o total de casos possíveis, a probabilidade é a razão entre eles. Esse é o passo final do cálculo.

Por que esta fórmula: A probabilidade clássica é definida como casos favoráveis divididos por casos possíveis, quando todos são igualmente prováveis.

P=3070P = \frac{30}{70}

De onde vem cada valor: 3030 = passo 2: grupos favoráveis · 7070 = passo 1: total de grupos

P=3070=37≈0,4286=0,4286 (42,86%)P = \frac{30}{70} = \frac{3}{7} \approx 0{,}4286 = \boxed{0{,}4286\ (42,86\%)}
NÃO CAIA NESSA!

Simplificar errado: 30/70 = 3/7, não 3/5. Ou converter para porcentagem errando a vírgula.

Resposta: A probabilidade é de aproximadamente 43%, portanto a alternativa correta é a letra B.

Link permanente: /questoes/qg170956