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Questão de Matemática — Cilindro — FUNDATEC 2024

MatemáticaCilindro
Código
qg170958
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Cruz Alta - RS
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor de Ensino Fundamental - Matemática
Ao mergulhar totalmente uma bolinha esférica e maciça num recipiente cilíndrico que contém água, o nível do líquido sobe 2,25 cm. Sabendo que o raio do cilindro é 4 cm, então o raio da bolinha vale, em cm:
  1. A6.
  2. B5.
  3. C4.
  4. D3.
  5. E2.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 3.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 3 cm (alternativa D).

A ideia por trás

Quando um sólido é totalmente imerso em um líquido, ele desloca um volume de líquido igual ao seu próprio volume. No recipiente cilíndrico, esse volume deslocado aparece como uma elevação do nível da água, que tem o formato de um cilindro com o mesmo raio do recipiente e altura igual à elevação. O volume desse cilindro de água é dado por V = πR²h, e o volume da esfera é V = (4/3)πr³. Igualando esses volumes, encontramos o raio da esfera. Nesta questão, precisamos calcular o volume do cilindro de água deslocado e igualá-lo ao volume da esfera, resolvendo para r.

O que a questão dá

  • raio do cilindro = 4 cm

  • elevação do nível da água = 2,25 cm

O que queremos: o raio da bolinha esférica

Passo 1 — Calcular o volume de água deslocado

O volume de água que subiu no cilindro é exatamente o volume da bolinha, pois ela está totalmente imersa. Esse volume tem o formato de um cilindro com o mesmo raio do recipiente e altura igual à elevação do nível.

Por que esta fórmula: O volume de um cilindro é a área da base (πR²) vezes a altura (h). Aqui, a base é o círculo do recipiente e a altura é a elevação da água.

Vdeslocado=π⋅R2⋅hV_{deslocado} = \pi \cdot R^{2} \cdot h

De onde vem cada valor: RR = enunciado: raio do cilindro = 4 cm · hh = enunciado: elevação do nível = 2,25 cm

Vdeslocado=π⋅42⋅2,25=36π cm3V_{deslocado} = \pi \cdot 4^{2} \cdot 2{,}25 = \boxed{36\pi \ \text{cm}^{3}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o diâmetro do cilindro (8 cm) em vez do raio (4 cm) — isso quadruplicaria o volume.

Passo 2 — Igualar o volume deslocado ao volume da esfera

Como a bolinha está totalmente imersa, o volume de água deslocado é igual ao volume da bolinha. Então igualamos os dois volumes para encontrar o raio da esfera.

Por que esta fórmula: O volume de uma esfera é dado por (4/3)πr³. Essa é a fórmula padrão para o volume de uma esfera de raio r.

43πr3=Vdeslocado\frac{4}{3}\pi r^{3} = V_{deslocado}

De onde vem cada valor: VdeslocadoV_{deslocado} = passo 1: 36π cm³

43πr3=36π\frac{4}{3}\pi r^{3} = 36\pi
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 4/3 ou usar o diâmetro em vez do raio na fórmula da esfera.

Passo 3 — Isolar o raio ao cubo

Para encontrar o raio, precisamos isolá-lo na equação. Dividimos ambos os lados por (4/3)π, o que equivale a multiplicar por 3/(4π).

Por que esta fórmula: Manipulação algébrica: dividir ambos os lados da equação pelo coeficiente de r³.

r3=36π43πr^{3} = \frac{36\pi}{\frac{4}{3}\pi}

De onde vem cada valor: 36π36\pi = passo 1 · 43π\frac{4}{3}\pi = passo 2

r3=36π43π=36⋅34r^{3} = \frac{36\pi}{\frac{4}{3}\pi} = 36 \cdot \frac{3}{4}
r3=27r^{3} = \boxed{27}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão de frações: lembre-se de que dividir por 4/3 é multiplicar por 3/4.

Passo 4 — Extrair a raiz cúbica

Com r³ = 27, o raio é a raiz cúbica de 27. Isso porque a raiz cúbica desfaz a potência ao cubo.

Por que esta fórmula: A raiz cúbica é a operação inversa da potenciação ao cubo: se r³ = 27, então r = ∛27.

r=273r = \sqrt[3]{27}

De onde vem cada valor: 2727 = passo 3

r=273=3 cmr = \sqrt[3]{27} = \boxed{3\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir raiz cúbica com raiz quadrada: √27 ≈ 5,2, mas ∛27 = 3.

Resposta: 3 cm (alternativa D)

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