Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg171565

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 126 jogos (alternativa E).

A ideia por trás

A contagem de jogos em um campeonato é um problema de combinatória: precisamos contar de quantas maneiras podemos formar pares de times que se enfrentam, respeitando as regras de cada fase. Quando todos os times de um grupo jogam entre si uma única vez, o número de jogos é dado pela combinação de 8 elementos tomados 2 a 2, pois a ordem não importa (o jogo A×B é o mesmo que B×A). Já quando times de grupos diferentes se enfrentam, cada par é formado por um time de cada grupo, então multiplicamos as quantidades. Nas fases eliminatórias, cada confronto entre dois times gera dois jogos (ida e volta), então precisamos multiplicar o número de confrontos por 2. Nesta questão, precisamos somar os jogos de cada fase, cuidando para não esquecer de multiplicar os jogos de ida e volta nas fases finais.

O que a questão dá

2 grupos de 8 times na primeira fase
turno único dentro de cada grupo
segunda fase: todos de um grupo contra todos do outro, turno único
semifinal: 2 confrontos, ida e volta
final: 1 confronto, ida e volta

O que queremos: o total de jogos do campeonato

Passo 1 — Calcular jogos dentro de um grupo

A primeira fase é dividida em grupos, e dentro de cada grupo todos jogam entre si uma única vez. Para contar quantos jogos isso gera, usamos combinação: escolhemos 2 times entre os 8 para formar um jogo, sem importar a ordem. A fórmula da combinação é C(n,2) = n·(n-1)/2, pois cada par de times gera um jogo.

Por que esta fórmula: É uma combinação simples, porque cada jogo é um par de times distintos e a ordem não importa (jogo A×B = B×A).

C_{8,2} = \frac{8 \times 7}{2}

De onde vem cada valor: $8$ = enunciado: cada grupo tem 8 times · $7$ = 8-1, pois um time não joga contra si mesmo · $2$ = para descontar que A×B e B×A são o mesmo jogo

C_{8,2} = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28 = \boxed{28\ \text{jogos} \text{por} \text{grupo}}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 8×7 = 56 sem dividir por 2, contando cada jogo duas vezes.

Passo 2 — Multiplicar pelos dois grupos

Como são dois grupos idênticos, o total da primeira fase é o dobro do que calculamos para um grupo. Precisamos multiplicar por 2 para obter o total de jogos da primeira fase.

Por que esta fórmula: Cada grupo contribui com 28 jogos, então o total é a soma das contribuições, que é 28 + 28 = 2×28.

J_{1} = 2 \times C_{8,2}

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: são 2 grupos · $C_{8,2}$ = passo 1: 28 jogos por grupo

J_{1} = 2 \times 28 = 56

$J_{1}$ = 56 jogos na primeira fase

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que são dois grupos e usar apenas 28.

Passo 3 — Calcular jogos entre grupos

Na segunda fase, cada time de um grupo enfrenta cada time do outro grupo, uma única vez. Como são 8 times de cada lado, cada um dos 8 times do grupo A joga contra os 8 do grupo B, totalizando 8×8 jogos. Não há divisão por 2, pois cada par é único e a ordem não importa (A×B é o mesmo que B×A, mas aqui já estamos contando cada par uma vez).

Por que esta fórmula: É um produto cartesiano: cada time de um grupo combina com cada time do outro, então multiplicamos as quantidades.

J_{2} = 8 \times 8

De onde vem cada valor: $8$ = enunciado: 8 times em cada grupo

J_{2} = 8 \times 8 = 64

$J_{2}$ = 64 jogos na segunda fase

NÃO CAIA NESSA!

Dividir por 2 pensando que é combinação, mas aqui os grupos são distintos, então cada par é único.

Passo 4 — Calcular jogos da semifinal

Na semifinal, os 2 primeiros de cada grupo se classificam, totalizando 4 times. Eles formam 2 confrontos (1º de um grupo contra 2º do outro, etc.). Cada confronto tem ida e volta, ou seja, 2 jogos. Então precisamos multiplicar o número de confrontos por 2.

Por que esta fórmula: Cada confronto gera 2 jogos (ida e volta), então o total é o número de confrontos vezes 2.

J_{sem} = 2 \times 2

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: ida e volta

J_{sem} = 2 \times 2 = 4 = \boxed{4\ \text{jogos} \text{na} \text{semifinal}}

NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas 2 jogos, esquecendo que cada confronto tem ida e volta.

Passo 5 — Calcular jogos da final

A final tem 1 confronto entre os vencedores das semifinais, com ida e volta, ou seja, 2 jogos. Precisamos contar esses 2 jogos.

Por que esta fórmula: Um confronto com ida e volta gera 2 jogos.

J_{fin} = 1 \times 2

De onde vem cada valor: $1$ = enunciado: 1 confronto na final · $2$ = enunciado: ida e volta

J_{fin} = 1 \times 2 = 2 = \boxed{2\ \text{jogos} \text{na} \text{final}}

NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas 1 jogo, esquecendo a volta.

Passo 6 — Somar os jogos de todas as fases

O total de jogos do campeonato é a soma dos jogos de cada fase. Já temos os valores de cada fase, então basta somá-los.

Por que esta fórmula: O total é a soma das partes.

J_{total} = J_{1} + J_{2} + J_{sem} + J_{fin}

De onde vem cada valor: $J_{1}$ = passo 2: 56 · $J_{2}$ = passo 3: 64 · $J_{sem}$ = passo 4: 4 · $J_{fin}$ = passo 5: 2

J_{total} = 56 + 64 + 4 + 2 = 126 = \boxed{126\ \text{jogos}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar alguma fase ou errar a soma.

Resposta: 126 jogos (alternativa E)

Questão de Matemática — Raciocínio Lógico — FUNDATEC 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular jogos dentro de um grupo

Passo 2 — Multiplicar pelos dois grupos

Passo 3 — Calcular jogos entre grupos

Passo 4 — Calcular jogos da semifinal

Passo 5 — Calcular jogos da final

Passo 6 — Somar os jogos de todas as fases