Questão de Matemática — Função de 1º Grau ou Função Afim, Problemas com Equação e Inequações — FUNDATEC 2024

Interseção de funções: reta e parábola

Gabarito: letra B. Igualando as funções $y = 2x$ e $y = 2 - x^2$, obtemos a equação $x^2 + 2x - 2 = 0$, cujas raízes são $x = -1 + \sqrt{3}$ (positiva) e $x = -1 - \sqrt{3}$ (negativa). Como $y = 2x$, o ponto com $x$ positivo tem $y$ positivo (1º quadrante) e o ponto com $x$ negativo tem $y$ negativo (3º quadrante). Portanto, um ponto está no 1º quadrante e o outro no 3º quadrante — a alternativa B afirma "um no primeiro quadrante e outro no segundo", o que está incorreto. A alternativa correta seria "um no primeiro e outro no terceiro", mas como não há essa opção, a banca considerou B como a resposta, provavelmente por erro de digitação no enunciado (a função correta seria $y = 2 - x$). Vamos analisar com cuidado.

A questão envolve a interseção de uma função afim (reta) com uma função quadrática (parábola). Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de $y$ e resolvemos a equação resultante. Os quadrantes do plano cartesiano são definidos pelos sinais de $x$ e $y$: 1º quadrante ($x>0, y>0$), 2º quadrante ($x<0, y>0$), 3º quadrante ($x<0, y<0$) e 4º quadrante ($x>0, y<0$).

Vamos resolver passo a passo:

1. Igualamos as funções: $2x = 2 - x^2$.

2. Reorganizamos: $x^2 + 2x - 2 = 0$.

3. Aplicamos a fórmula de Bhaskara: $x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$.

4. As raízes são $x_1 = -1 + \sqrt{3} \approx 0,732$ (positiva) e $x_2 = -1 - \sqrt{3} \approx -2,732$ (negativa).

5. Calculamos os respectivos $y$: $y_1 = 2x_1 \approx 1,464$ (positivo) e $y_2 = 2x_2 \approx -5,464$ (negativo).

Portanto, os pontos de interseção são $(0,732; 1,464)$ — 1º quadrante — e $(-2,732; -5,464)$ — 3º quadrante. Nenhuma alternativa traz essa combinação. A alternativa B diz "um no primeiro e outro no segundo", o que seria verdadeiro se a segunda função fosse $y = 2 - x$ (uma reta decrescente), pois aí teríamos $2x = 2 - x \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = 2/3$ (positivo) e $y = 4/3$ (1º quadrante), e o outro ponto seria a interseção com o eixo $y$? Não, na verdade com $y = 2 - x$ a interseção é única. Para ter dois pontos, um no 1º e outro no 2º quadrante, a parábola deveria ser $y = 2 - x^2$ e a reta $y = 2x$? Já vimos que não. Talvez a banca tenha considerado $y = 2x$ e $y = 2 - x^2$ e se enganado ao classificar os quadrantes, ou o gabarito oficial está com erro. Como a questão é da FUNDATEC e o gabarito é B, devemos seguir o gabarito, mas é importante o aluno entender o erro.

Vamos analisar cada alternativa com base no cálculo correto:

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que ambos os pontos estão no primeiro quadrante. Isso exigiria que ambos tivessem $x>0$ e $y>0$. No entanto, uma das raízes é negativa ($x_2 = -1 - \sqrt{3}$), e como $y = 2x$, o $y$ correspondente também é negativo. Logo, um ponto está no 3º quadrante, não no 1º.

Alternativa B — ✅ Correta (segundo gabarito oficial)

O gabarito oficial marca B, mas a análise correta mostra que os pontos estão no 1º e 3º quadrantes, não no 1º e 2º. Há uma inconsistência. Se a banca considerou que a segunda função é $y = 2 - x$ (reta decrescente), a interseção com $y = 2x$ seria única, não dois pontos. Se considerou $y = 2 - x^2$ e $y = 2x$, os pontos são 1º e 3º. Portanto, a alternativa B está incorreta do ponto de vista matemático, mas é o gabarito oficial. Vamos explicar o que a banca provavelmente quis: talvez tenha havido erro de digitação no enunciado, e a função fosse $y = 2 - x$ (reta) e $y = 2x$? Aí teríamos um único ponto. Ou $y = 2x$ e $y = 2 - x^2$? Já vimos. Outra possibilidade: a banca considerou $y = 2x$ e $y = 2 - x^2$ e classificou erroneamente o ponto com $x$ negativo como 2º quadrante, esquecendo que $y$ também é negativo. Como o gabarito é B, devemos aceitá-lo, mas é fundamental o aluno saber o cálculo correto.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que ambos os pontos estão no segundo quadrante. Isso exigiria $x<0$ e $y>0$ para ambos. Como uma raiz é positiva, o ponto correspondente tem $y>0$ e está no 1º quadrante, não no 2º.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que um ponto está no 2º quadrante e outro no 3º. O ponto com $x$ negativo tem $y$ negativo (3º quadrante), mas o ponto com $x$ positivo tem $y$ positivo (1º quadrante), não 2º.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que um ponto está no 1º quadrante e outro no 4º. O ponto com $x$ positivo tem $y$ positivo (1º), e o ponto com $x$ negativo tem $y$ negativo (3º), não 4º.

Gabarito: letra B (conforme oficial, embora a análise correta aponte 1º e 3º quadrantes — fique atento a possíveis erros de elaboração).