Questão de Matemática — Progressões — FUNDATEC 2024

Progressões: PA e PG a partir de uma sequência genérica

Gabarito: letra A. A sequência $x, x+2, 4x$ pode ser uma progressão geométrica quando $x = 2$, pois a razão é constante ($q = 2$) e o décimo termo é $1024$. Para verificar, usamos a propriedade de que, em uma PG, o quadrado do termo central é igual ao produto dos extremos: $(x+2)^2 = x \cdot 4x$. Resolvendo, obtemos $x = 2$. Com $x = 2$, a sequência é $(2, 4, 8, \ldots)$, uma PG de razão $q = 2$, e o décimo termo é $a_{10} = 2 \cdot 2^{9} = 1024$.

Vamos entender o raciocínio completo. Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante $r$ (a razão). Já uma progressão geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por uma constante $q$ (a razão). A questão pede para testar cada alternativa, verificando se o valor de $x$ proposto torna a sequência uma PA ou uma PG e se o termo indicado está correto.

Para uma PA, a condição é que a diferença entre termos consecutivos seja constante: $(x+2) - x = 4x - (x+2)$. Para uma PG, a condição é que a razão entre termos consecutivos seja constante: $\frac{x+2}{x} = \frac{4x}{x+2}$, o que equivale a $(x+2)^2 = x \cdot 4x$.

Vamos analisar cada alternativa.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Para ser PG, precisamos de $(x+2)^2 = x \cdot 4x$. Expandindo: $x^2 + 4x + 4 = 4x^2$, logo $3x^2 - 4x - 4 = 0$. Resolvendo a equação do segundo grau, obtemos $x = 2$ ou $x = -\frac{2}{3}$. O valor $x = 2$ é o que aparece na alternativa. Com $x = 2$, a sequência é $(2, 4, 8, \ldots)$, uma PG de razão $q = 2$. O termo geral é $a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$. Portanto, o décimo termo é $a_{10} = 2^{10} = 1024$. A alternativa está correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Para ser PA, a condição é $(x+2) - x = 4x - (x+2)$, ou seja, $2 = 3x - 2$, logo $x = \frac{4}{3}$. O valor proposto é $x = 3$, que não satisfaz a condição de PA. Além disso, mesmo que fosse PA, o quinto termo seria calculado com $a_5 = a_1 + 4r$. Com $x = 3$, a sequência seria $(3, 5, 12, \ldots)$, que não é PA. O valor $28/3$ não corresponde a nenhum termo dessa sequência.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Aqui o valor de $x = \frac{4}{3}$ é exatamente o que torna a sequência uma PA, como calculamos na alternativa B. Vamos verificar o quinto termo. Com $x = \frac{4}{3}$, a sequência é $\left(\frac{4}{3}, \frac{10}{3}, \frac{16}{3}, \ldots\right)$, uma PA de razão $r = 2$. O termo geral é $a_n = \frac{4}{3} + (n-1) \cdot 2$. Para $n = 5$: $a_5 = \frac{4}{3} + 4 \cdot 2 = \frac{4}{3} + 8 = \frac{28}{3}$. A alternativa afirma que o quinto termo é $28$, mas o correto é $\frac{28}{3}$. Portanto, incorreta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Para PG, o valor de $x$ deve ser $2$ (ou $-\frac{2}{3}$), como vimos na alternativa A. Com $x = 2$, o décimo termo é $1024$, não $512$. O valor $512$ seria o nono termo ($a_9 = 2^9 = 512$). A alternativa troca o expoente: $a_{10} = 2^{10} = 1024$, não $512$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Para PA, o valor de $x$ deve ser $\frac{4}{3}$, não $\frac{3}{4}$. Com $x = \frac{3}{4}$, a sequência seria $\left(\frac{3}{4}, \frac{11}{4}, 3, \ldots\right)$, que não é PA. Além disso, o quinto termo não seria $23$. O valor $23$ não tem relação com a sequência para esse $x$.

Gabarito: letra A.