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Questão de Matemática — Geometria Analítica — FUNDATEC 2024

MatemáticaGeometria Analítica
Código
qg171568
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Esteio - RS
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática 24h
A distância do ponto (1,1) à reta x + y = 1 é dada por:
  1. A1.
  2. B2.
  3. C√2.
  4. D√2/2.
  5. E0.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — √2/2.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a √2/2 (alternativa D).

A ideia por trás

A distância de um ponto a uma reta é o comprimento do segmento perpendicular que liga o ponto à reta — o menor caminho entre eles. Essa distância é sempre positiva (ou zero, se o ponto estiver sobre a reta) e é medida em unidades de comprimento. Para calculá-la, usamos a fórmula d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²), que exige a reta na forma geral ax + by + c = 0. Nessa fórmula, (x₀, y₀) são as coordenadas do ponto, e a, b, c são os coeficientes da reta. O numerador mede o quanto o ponto 'erra' a equação da reta (quanto mais longe, maior o erro), e o denominador normaliza esse erro pelo tamanho dos coeficientes. Nesta questão, precisamos reescrever a reta na forma geral, identificar os coeficientes e aplicar a fórmula, tomando cuidado com o sinal de c e com a racionalização do resultado.

O que a questão dá

  • ponto P = (1, 1)

  • reta x + y = 1

O que queremos: a distância do ponto à reta

Passo 1 — Reescrever a reta na forma geral

A fórmula da distância exige a reta na forma ax + by + c = 0. A equação dada está na forma x + y = 1, que não tem o termo constante do lado esquerdo. Precisamos passar o 1 para o lado esquerdo, subtraindo 1 dos dois lados, para obter a forma geral.

Por que esta fórmula: A forma geral é a base para identificar os coeficientes a, b e c que serão usados na fórmula da distância.

x+y−1=0x + y - 1 = 0

De onde vem cada valor: xx = enunciado: termo da reta · yy = enunciado: termo da reta · −1-1 = enunciado: o 1 foi subtraído dos dois lados

x+y−1=0x + y - 1 = 0
x+y−1=0x + y - 1 = \boxed{0}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair 1 e usar c = 0, o que leva a um numerador errado.

Passo 2 — Identificar os coeficientes e o ponto

Com a reta na forma geral, podemos extrair os valores de a, b e c, e também as coordenadas do ponto (x₀, y₀), que são necessários para substituir na fórmula.

Por que esta fórmula: A fórmula da distância usa esses cinco valores; sem eles, não há como calcular.

a=1,b=1,c=−1,x0=1,y0=1a = 1, b = 1, c = -1, x₀ = 1, y₀ = 1

De onde vem cada valor: aa = passo 1: coeficiente de x · bb = passo 1: coeficiente de y · cc = passo 1: termo constante · x0x₀ = enunciado: ponto (1,1) · y0y₀ = enunciado: ponto (1,1)

a=1,b=1,c=−1,x0=1,y0=1a = 1, b = 1, c = -1, x₀ = 1, y₀ = 1

a = 1, b = 1, c = -1, x₀ = 1, y₀ = 1

NÃO CAIA NESSA!

Confundir o sinal de c: como a reta é x + y - 1 = 0, c = -1, não +1.

Passo 3 — Aplicar a fórmula da distância

Agora temos todos os valores necessários. A fórmula da distância calcula o comprimento do segmento perpendicular: o numerador é o valor absoluto da expressão ax₀ + by₀ + c, que mede o 'erro' do ponto em relação à reta, e o denominador é a norma do vetor normal (a, b), que normaliza esse erro.

Por que esta fórmula: É a fórmula padrão para distância entre ponto e reta; outras fórmulas não se aplicam diretamente.

d = frac|a x_0 + b y_0 + c|√(a^2 + b^2)

De onde vem cada valor: aa = passo 2: 1 · x0x_0 = passo 2: 1 · bb = passo 2: 1 · y0y_0 = passo 2: 1 · cc = passo 2: -1

d = frac|1 · 1 + 1 · 1 - 1|√(1^2 + 1^2)
d=12d = \boxed{\frac{1}{\sqrt{2}}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar c = 0 (esquecer de subtrair 1) leva a numerador 2 e resultado √2.

Passo 4 — Racionalizar o denominador

O resultado 1/√2 é matematicamente correto, mas as alternativas apresentam √2/2. Para comparar, precisamos racionalizar: multiplicar numerador e denominador por √2, eliminando a raiz do denominador.

Por que esta fórmula: Racionalizar é uma técnica para reescrever frações com raiz no denominador de forma equivalente, multiplicando por 1 na forma √2/√2.

12⋅22=22\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

De onde vem cada valor: 11 = passo 3: numerador · 2\sqrt{2} = passo 3: denominador

12⋅22=22=22\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Não racionalizar e marcar 1/√2, que não aparece nas alternativas, ou confundir com √2.

Resposta: √2/2 (alternativa D)

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