A fatoração em números primos possui diversas aplicações na matemática, como, por exemplo, em criptografia. O processo consiste em reescrever um número natural como produto entre números primos. Sendo assim, pode-se afirmar que a fatoração do número 2002 possui um produto entre ___ números primos distintos.Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna do trecho acima.
A2.
B3.
C4.
D5.
E6.
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GabaritoC — 4.
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 4 números primos distintos (2, 7, 11 e 13) — alternativa C..
A ideia por trás
A fatoração em números primos é o processo de escrever um número natural como produto de números primos, garantido pelo Teorema Fundamental da Aritmética: todo número maior que 1 é primo ou pode ser decomposto de forma única (exceto pela ordem) em fatores primos. Para fatorar, dividimos o número sucessivamente pelos menores primos possíveis até chegar a 1. Os primos que aparecem na decomposição são os fatores primos; se um primo aparece mais de uma vez (como 2²), contamos apenas uma vez quando falamos em 'primos distintos'. Nesta questão, precisamos fatorar 2002 completamente e contar quantos primos diferentes aparecem no produto final.
O que a questão dá
número a fatorar = 2002
O que queremos: a quantidade de números primos distintos na fatoração de 2002
Passo 1 — Dividir 2002 pelo menor primo, 2
Para fatorar, começamos sempre pelo menor número primo que divide o número. Como 2002 é par, ele é divisível por 2. Dividir por 2 é o primeiro passo da decomposição.
Por que esta fórmula: A divisão por 2 é a primeira tentativa porque 2 é o menor primo e todo número par é divisível por ele.
De onde vem cada valor: = enunciado: número a fatorar · = menor primo que divide 2002 (pois é par)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de verificar se o número é par e tentar dividir por 3 primeiro.
Passo 2 — Testar divisibilidade de 1001 por primos
Agora precisamos fatorar 1001. Ele não é divisível por 2 (não é par), nem por 3 (soma dos algarismos 1+0+0+1=2, não múltiplo de 3), nem por 5 (não termina em 0 ou 5). Testamos o próximo primo, 7.
Por que esta fórmula: A divisão por 7 é a próxima tentativa porque 7 é o próximo primo após 5, e 1001 é conhecido por ser divisível por 7 (7 × 143 = 1001).
De onde vem cada valor: = passo 1 · = menor primo que divide 1001 (após testar 2, 3 e 5)
NÃO CAIA NESSA!
Parar em 1001 = 7 × 143 e achar que 143 é primo, sem continuar a fatoração.
Passo 3 — Fatorar 143 por 11
143 não é divisível por 2, 3, 5 ou 7 (7 × 20 = 140, sobra 3). Testamos o próximo primo, 11. 143 ÷ 11 = 13, exato.
Por que esta fórmula: A divisão por 11 é a próxima tentativa porque 11 é o próximo primo após 7, e 143 é divisível por 11 (11 × 13 = 143).
De onde vem cada valor: = passo 2 · = menor primo que divide 143 (após testar 2, 3, 5 e 7)
NÃO CAIA NESSA!
Não testar 11 e tentar dividir por 13 diretamente, ou achar que 143 é primo.
Passo 4 — Reconhecer 13 como primo e montar a fatoração
13 é um número primo, pois só é divisível por 1 e por ele mesmo. Chegamos ao fim da fatoração. Agora juntamos todos os divisores usados: 2, 7, 11 e 13.
Por que esta fórmula: A fatoração completa é o produto de todos os primos que usamos nas divisões: 2 × 7 × 11 × 13.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 2 · = passo 3 · = passo 3 (resultado da divisão)
NÃO CAIA NESSA!
Contar o número de fatores (4) em vez de primos distintos — aqui coincidem, mas em outros números como 12 = 2² × 3, o total de fatores é 3 e os primos distintos são 2.
Passo 5 — Contar os primos distintos
A pergunta pede a quantidade de números primos distintos, ou seja, quantos primos diferentes aparecem na fatoração. Como todos os fatores (2, 7, 11, 13) são diferentes, contamos cada um uma vez.
Por que esta fórmula: Não há fórmula; basta contar os elementos do conjunto {2, 7, 11, 13}.
4 primos distintos
NÃO CAIA NESSA!
Contar repetições se houvesse, mas aqui não há; ainda assim, é importante lembrar que primos repetidos contam uma única vez.
Resposta: 4 números primos distintos (2, 7, 11 e 13) — alternativa C.