Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg172112

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 6 (alternativa B).

A ideia por trás

Em uma equação do segundo grau, as raízes são os valores de x que tornam a igualdade verdadeira. Para uma equação na forma ax² + bx + c = 0, existem relações diretas entre os coeficientes e as raízes, chamadas relações de Girard: a soma das raízes é -b/a e o produto é c/a. Essas relações vêm da fatoração a(x - x₁)(x - x₂) = ax² + bx + c, que, ao expandir, mostra que o termo constante é a·x₁·x₂, igual a c. Assim, o produto das raízes é sempre c/a, independentemente de resolver a equação. Nesta questão, basta identificar os coeficientes e aplicar a fórmula do produto.

O que a questão dá

equação: x² - 5x + 6 = 0
coeficientes: a = 1, b = -5, c = 6

O que queremos: o produto das raízes da equação

Passo 1 — Identificar os coeficientes da equação

Para usar a relação de Girard, precisamos saber quem são a, b e c na forma padrão ax² + bx + c = 0. Aqui a equação já está nessa forma, então é só comparar.

NÃO CAIA NESSA!

Confundir os sinais: b é -5, não 5, mas para o produto isso não importa, pois usamos apenas c e a.

Passo 2 — Aplicar a fórmula do produto das raízes

A relação de Girard para o produto é direta: o produto das raízes é o coeficiente c dividido pelo coeficiente a. Isso evita resolver a equação por Bhaskara ou fatoração.

Por que esta fórmula: A fórmula do produto das raízes é x₁·x₂ = c/a, pois na fatoração a(x - x₁)(x - x₂) o termo independente é a·x₁·x₂, que deve ser igual a c.

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

De onde vem cada valor: $c$ = enunciado: c = 6 · $a$ = enunciado: a = 1

x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{1} = \boxed{6}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por a quando a ≠ 1; aqui a = 1, então não há erro, mas em outras questões isso pode derrubar.

Resposta: 6 (alternativa B)