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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FUNDATEC 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
qg172314
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Iraí - RS
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática
Considere que três vigas metálicas, cujos comprimentos são 154 cm, 330 cm e 374 cm, respectivamente, devem ser divididas em partes iguais de maneira que cada parte tenha o maior comprimento possível. Qual será o comprimento de cada parte?
  1. A14.
  2. B18.
  3. C22
  4. D28.
  5. E33
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 22

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 22 cm — alternativa C.

A ideia por trás

Quando precisamos dividir quantidades em partes iguais do maior tamanho possível, estamos procurando o Máximo Divisor Comum (MDC). O MDC é o maior número que divide todos os valores sem deixar resto — é como a maior régua que cabe exatamente em todas as medidas. Para encontrá-lo, decompomos cada número em fatores primos e multiplicamos os fatores comuns a todos. Nesta questão, as três vigas devem ser cortadas em pedaços do mesmo comprimento, e queremos o maior comprimento que sirva para todas — exatamente o MDC de 154, 330 e 374.

O que a questão dá

  • comprimento da viga 1 = 154 cm

  • comprimento da viga 2 = 330 cm

  • comprimento da viga 3 = 374 cm

O que queremos: o maior comprimento possível de cada parte igual

Passo 1 — Decompor 154 em fatores primos

Para achar o MDC, precisamos ver a 'receita' de cada número em fatores primos. Fatorar é dividir o número pelos menores primos possíveis até sobrar 1 — assim enxergamos quais ingredientes são comuns.

Por que esta fórmula: 154 é par, então dividimos por 2; depois 77 é 7 × 11, ambos primos.

154=2×7×11154 = 2 \times 7 \times 11

De onde vem cada valor: 154154 = enunciado: comprimento da viga 1 · 22 = 154 ÷ 2 = 77 · 77 = 77 ÷ 7 = 11 · 1111 = 11 é primo

154=2×7×11154 = 2 \times 7 \times 11
154=2 ×7×11154 = \boxed{2\ \times 7 \times 11}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, parando em 77 = 7 × 11 — mas 11 é primo, então está certo.

Passo 2 — Decompor 330 em fatores primos

Precisamos da fatoração de cada número para comparar os fatores comuns. 330 termina em 0, então é divisível por 2 e por 5.

Por que esta fórmula: 330 é par, dividimos por 2; 165 termina em 5, dividimos por 5; 33 = 3 × 11.

330=2×3×5×11330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11

De onde vem cada valor: 330330 = enunciado: comprimento da viga 2 · 22 = 330 ÷ 2 = 165 · 33 = 165 ÷ 5 = 33, e 33 ÷ 3 = 11 · 55 = 165 ÷ 5 = 33 · 1111 = 11 é primo

330=2×3×5×11330 = 2 \times 3 \times 5 \times 11
330=2 ×3×5×11330 = \boxed{2\ \times 3 \times 5 \times 11}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 5, pois 165 é divisível por 5 — sem ele, o MDC sai errado.

Passo 3 — Decompor 374 em fatores primos

Falta a fatoração do terceiro número para comparar com os anteriores. 374 é par, então começa com 2.

Por que esta fórmula: 374 é par, dividimos por 2; 187 = 11 × 17, ambos primos.

374=2×11×17374 = 2 \times 11 \times 17

De onde vem cada valor: 374374 = enunciado: comprimento da viga 3 · 22 = 374 ÷ 2 = 187 · 1111 = 187 ÷ 11 = 17 · 1717 = 17 é primo

374=2×11×17374 = 2 \times 11 \times 17
374=2 ×11×17374 = \boxed{2\ \times 11 \times 17}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que 187 é primo — mas 187 = 11 × 17.

Passo 4 — Multiplicar os fatores comuns

O MDC é formado pelos fatores primos que aparecem em todas as fatorações. Comparando as três, vemos que 2 e 11 estão presentes em todas — então o MDC é o produto deles.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores comuns a todos os números, cada um com o menor expoente. Aqui, 2 e 11 aparecem uma vez em cada fatoração.

MDC=2×11MDC = 2 \times 11

De onde vem cada valor: 22 = passo 1, passo 2 e passo 3: todos têm fator 2 · 1111 = passo 1, passo 2 e passo 3: todos têm fator 11

MDC=2×11=22MDC = 2 \times 11 = \boxed{22}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir fatores que não são comuns, como 3 ou 5 — isso daria um divisor maior que não divide todos.

Resposta: 22 cm — alternativa C

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