Questão de Matemática — Geometria Plana — FUNDATEC 2024

Reta tangente à circunferência

Gabarito: letra A — a reta tangente é $x + 2y = 13$. Para chegar a ela, completamos quadrados para identificar o centro da circunferência, usamos a propriedade de que o raio no ponto de tangência é perpendicular à reta tangente e, com o coeficiente angular do raio, obtemos o coeficiente da reta procurada.

O que está por trás da questão

Uma circunferência no plano cartesiano é o conjunto de pontos que estão a uma distância fixa (o raio) de um ponto central. A equação geral $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ pode ser reescrita na forma reduzida $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, onde $(a, b)$ é o centro e $r$ é o raio. Para fazer essa conversão, usamos a técnica de completar quadrados: agrupamos os termos em $x$ e em $y$, e adicionamos e subtraímos as constantes necessárias para formar quadrados perfeitos.

A reta tangente a uma circunferência em um ponto $P$ tem uma propriedade geométrica fundamental: ela é perpendicular ao raio que liga o centro ao ponto de tangência. Se dois segmentos são perpendiculares, o produto de seus coeficientes angulares é $-1$ (desde que nenhum deles seja vertical). Assim, conhecendo o coeficiente angular do raio, o coeficiente da tangente é o inverso negativo dele.

A banca explora exatamente essa relação de perpendicularidade. O candidato que não lembra que o raio e a tangente são perpendiculares pode tentar usar a equação da reta que passa por dois pontos quaisquer, ou confundir o coeficiente angular do raio com o da tangente, errando o sinal ou o inverso.

Passo a passo da resolução

1. Completar quadrados para achar o centro e o raio

A equação dada é $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 18$. Agrupando os termos em $x$ e em $y$ e completando quadrados:

Portanto, o centro é $C(1,1)$ e o raio é $r = \sqrt{20}$.

2. Coeficiente angular do raio no ponto de tangência

O ponto dado é $P(3,5)$. O raio que liga o centro $C(1,1)$ ao ponto $P$ tem coeficiente angular:

3. Coeficiente angular da reta tangente

A reta tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Se $m_r = 2$, então o coeficiente da tangente $m_t$ satisfaz:

4. Equação da reta tangente

Usando a forma ponto-inclinação com o ponto $P(3,5)$:

Multiplicando por 2:

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A equação $x + 2y = 13$ é exatamente a que obtivemos. Ela tem coeficiente angular $-\frac{1}{2}$ (reescrevendo: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{13}{2}$), que é o inverso negativo do coeficiente do raio ($2$), garantindo a perpendicularidade. Além disso, substituindo o ponto $P(3,5)$: $3 + 2 \cdot 5 = 3 + 10 = 13$, confirmando que o ponto pertence à reta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A equação $2x + y = -13$ tem coeficiente angular $-2$ (reescrevendo: $y = -2x - 13$). O produto com o coeficiente do raio seria $2 \cdot (-2) = -4$, que não é $-1$. Portanto, a reta não é perpendicular ao raio e não pode ser tangente. Além disso, o ponto $P(3,5)$ não a satisfaz: $2 \cdot 3 + 5 = 11 \neq -13$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A equação $x - 2y = 13$ tem coeficiente angular $\frac{1}{2}$ (reescrevendo: $y = \frac{1}{2}x - \frac{13}{2}$). O produto com o coeficiente do raio seria $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$, que não é $-1$. A reta não é perpendicular ao raio. Além disso, o ponto $P(3,5)$ não a satisfaz: $3 - 2 \cdot 5 = -7 \neq 13$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A equação $-2x + y = 13$ tem coeficiente angular $2$ (reescrevendo: $y = 2x + 13$). Esse é o mesmo coeficiente do raio, o que significa que a reta é paralela ao raio, não perpendicular. O produto $2 \cdot 2 = 4 \neq -1$. Além disso, o ponto $P(3,5)$ não a satisfaz: $-2 \cdot 3 + 5 = -1 \neq 13$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A equação $-x + 2y = 13$ tem coeficiente angular $\frac{1}{2}$ (reescrevendo: $y = \frac{1}{2}x + \frac{13}{2}$). O produto com o coeficiente do raio seria $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$, que não é $-1$. A reta não é perpendicular ao raio. Além disso, o ponto $P(3,5)$ não a satisfaz: $-3 + 2 \cdot 5 = 7 \neq 13$.

Gabarito: letra A