Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FUNDATEC 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 840 anagramas (alternativa D).

A ideia por trás

Anagramas são permutações das letras de uma palavra. Quando há letras repetidas, o número total de permutações é dado pela divisão do fatorial do total de letras pelo produto dos fatoriais das repetições, pois as trocas entre letras iguais não geram palavras diferentes. Nesta questão, a palavra ANAGRAMA tem 8 letras, com 4 A's repetidos, então o total de anagramas seria 8! / 4! = 1680. Mas a restrição de começar com vogal reduz o problema: fixamos uma vogal na primeira posição e permutamos as 7 letras restantes, ainda dividindo pelas repetições dos A's que sobraram. O cálculo correto é 7! / 3! = 840.

O que a questão dá

• palavra: ANAGRAMA

• letras: 8 (A, N, A, G, R, A, M, A)

• vogais: 4 (todas A)

• consoantes: 4 (N, G, R, M)

O que queremos: quantos anagramas começam com vogal

Passo 1 — Contar as letras e as repetições

Antes de qualquer cálculo, precisamos saber quantas letras temos e quais se repetem, porque isso define o fatorial a usar e por qual número dividir. A palavra ANAGRAMA tem 8 letras, sendo 4 A's e 4 distintas (N, G, R, M).

Passo 2 — Fixar a vogal na primeira posição

A condição 'começar com vogal' exige que a primeira letra seja uma vogal. Como a única vogal é o A, temos 4 opções de A para ocupar essa posição. Fixar uma delas reduz o problema: agora só precisamos permutar as 7 letras restantes.

Passo 3 — Calcular as permutações das letras restantes

Depois de fixar uma vogal, restam 7 letras: 3 A's e as 4 consoantes distintas. O número de maneiras de ordenar essas 7 letras é dado pela permutação com repetição: 7! dividido por 3! (por causa dos 3 A's repetidos).

Por que esta fórmula: A fórmula de permutação com repetição é P = n! / (r1! * r2! * ...), onde n é o total de elementos e r_i são as repetições. Aqui, n = 7 e há 3 repetições do A, então dividimos por 3!.

De onde vem cada valor: $7$ = passo 2: letras restantes após fixar a vogal · $3$ = passo 1: quantidade de A's restantes

Resposta: 840 anagramas (alternativa D)