Questão de Matemática — Álgebra — FUNDATEC 2024

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a b = –20 (alternativa E).

A ideia por trás

Numa equação do segundo grau, as raízes são os valores de x que zeram a expressão. Elas têm relações diretas com os coeficientes: a soma das raízes é –b/a e o produto é c/a. Essas relações, chamadas de relações de Girard, permitem descobrir um coeficiente sem resolver a equação inteira. O produto das raízes é sempre o termo independente dividido pelo coeficiente de x²; a soma é o oposto do coeficiente de x dividido pelo coeficiente de x². Nesta questão, conhecemos uma raiz e o produto, então encontramos a outra raiz e, com a soma, achamos b — lembrando que a soma é –b, não b.

O que a questão dá

• equação: x² + bx + 75 = 0

• uma raiz = 5

• a outra raiz é múltiplo de 5

O que queremos: o valor do coeficiente b

Passo 1 — Identificar os coeficientes da equação

Para usar as relações de Girard, precisamos saber quem é a, b e c na forma geral ax² + bx + c = 0. Aqui a equação já está nessa forma, então é só comparar.

a = 1, b = ?, c = 75

Passo 2 — Calcular a outra raiz pelo produto

O produto das raízes é sempre c/a. Como já sabemos uma raiz (5) e o produto (75), conseguimos achar a outra raiz dividindo.

Por que esta fórmula: A relação do produto vem da fatoração da equação: (x – r1)(x – r2) = x² – (r1+r2)x + r1·r2. Comparando com ax² + bx + c, o termo constante é r1·r2, então produto = c/a.

De onde vem cada valor: $c$ = passo 1: 75 · $a$ = passo 1: 1 · $r_1$ = enunciado: 5

Passo 3 — Conferir se a outra raiz é múltiplo de 5

O enunciado exige que a outra raiz seja múltiplo de 5. Precisamos verificar se 15 satisfaz essa condição antes de prosseguir.

Passo 4 — Calcular a soma das raízes

Com as duas raízes em mãos, a soma delas é o próximo passo, pois a relação de Girard liga a soma ao coeficiente b.

Por que esta fórmula: A soma das raízes é –b/a, mas primeiro calculamos a soma numérica: r1 + r2.

De onde vem cada valor: $r_1$ = enunciado: 5 · $r_2$ = passo 2: 15

Passo 5 — Obter o coeficiente b pela soma

A relação de Girard diz que a soma das raízes é –b/a. Como a = 1, temos soma = –b. Então, se a soma é 20, –b = 20, logo b = –20. Esse é o passo final.

Por que esta fórmula: Na forma x² + bx + c = 0, a soma das raízes é –b (porque a = 1). Por isso o sinal negativo aparece.

De onde vem cada valor: $S$ = passo 4: 20

Resposta: b = –20 (alternativa E)