GabaritoB — 27
Gabarito: letra B — a conta chega a 27 (alternativa B).
Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de duas ou mais equações que compartilham as mesmas incógnitas. Ele serve para resolver problemas onde há duas condições simultâneas, como aqui: a quantidade total de notas e o valor total em dinheiro. A equação da quantidade soma os números de notas, enquanto a equação do valor soma as contribuições de cada tipo de nota (100 vezes o número de notas de 100 mais 50 vezes o número de notas de 50). Resolver o sistema significa encontrar os valores das incógnitas que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Nesta questão, precisamos montar essas duas equações a partir do enunciado e resolvê-las para achar quantas notas de cada valor existem, para então calcular a diferença pedida.
total de notas = 127
valor total = R$ 10.200,00
notas de R$ 50,00 e R$ 100,00
O que queremos: a diferença entre o número de notas de R$ 100,00 e R$ 50,00
Para transformar o problema em equações, precisamos nomear as quantidades desconhecidas. Vamos chamar de x o número de notas de R$ 100,00 e de y o número de notas de R$ 50,00. Isso nos permite escrever as relações do enunciado em linguagem matemática.
Trocar as incógnitas: usar x para notas de 50 e y para notas de 100, o que inverteria a diferença final.
O total de notas é 127, então a soma do número de notas de 100 com o número de notas de 50 deve ser 127. Essa é a primeira condição do problema.
Por que esta fórmula: A equação x + y = 127 representa a contagem das notas: cada nota, independente do valor, conta como 1 unidade. Somamos as quantidades de cada tipo para obter o total.
De onde vem cada valor: = passo 1: número de notas de R$ 100,00 · = passo 1: número de notas de R$ 50,00 · = enunciado: total de notas = 127
Esquecer essa equação e montar apenas a do valor, ficando com uma equação só e duas incógnitas.
Além da quantidade, o valor total também é conhecido. Cada nota de 100 contribui com 100 reais e cada nota de 50 com 50 reais. A soma dessas contribuições deve ser 10.200. Essa é a segunda condição.
Por que esta fórmula: O valor total é a soma do dinheiro de cada tipo de nota: 100 reais vezes o número de notas de 100 (100x) mais 50 reais vezes o número de notas de 50 (50y). Isso dá a equação 100x + 50y = 10.200.
De onde vem cada valor: = enunciado: valor de cada nota de R$ 100,00 · = passo 1: número de notas de R$ 100,00 · = enunciado: valor de cada nota de R$ 50,00 · = passo 1: número de notas de R$ 50,00 · = enunciado: valor total = R$ 10.200,00
Inverter os coeficientes: usar 50x + 100y, o que daria um sistema diferente e resposta errada.
Para resolver o sistema, usamos o método da substituição: expressamos uma incógnita em função da outra e substituímos na segunda equação. Isolar y na equação da quantidade é o primeiro passo.
Por que esta fórmula: Da equação x + y = 127, subtraímos x dos dois lados para deixar y sozinho: y = 127 - x. Isso é válido porque o que fazemos de um lado da equação, fazemos do outro para manter a igualdade.
De onde vem cada valor: = passo 2: total de notas · = passo 1: número de notas de R$ 100,00
Isolar x em vez de y, o que também funciona, mas pode confundir na hora de substituir.
Agora que y está em função de x, substituímos essa expressão na segunda equação. Assim, ficamos com uma equação apenas com a incógnita x, que podemos resolver.
Por que esta fórmula: Na equação 100x + 50y = 10.200, trocamos y por (127 - x), pois são equivalentes. Isso elimina a incógnita y e nos permite achar x.
De onde vem cada valor: = passo 3: contribuição das notas de 100 · = passo 4: y substituído por 127 - x na contribuição das notas de 50 · = passo 3: valor total
Esquecer de multiplicar 50 por ambos os termos dentro do parêntese, resultando em 50·127 - 50x, mas errar o sinal.
Precisamos resolver a equação para achar x. Primeiro, distribuímos a multiplicação e combinamos os termos semelhantes.
Por que esta fórmula: Aplicamos a propriedade distributiva: 50(127 - x) = 50·127 - 50x = 6.350 - 50x. Depois somamos 100x com -50x, resultando em 50x. A equação fica 50x + 6.350 = 10.200.
De onde vem cada valor: = passo 5: 100x - 50x · = passo 5: 50·127 · = passo 5: valor total
Errar a multiplicação 50·127, que é 6.350, e não 6.350? Confundir com 6.350? Na verdade, 50·127 = 6.350, mas alguns podem calcular 50·127 = 6.350? Sim, está correto. O erro comum é fazer 50·127 = 6.350? Não, é isso mesmo. Talvez errar na soma: 100x - 50x = 50x, mas alguns fazem 100x + 50x = 150x.
Para encontrar o valor de x, precisamos deixá-lo sozinho em um lado da equação. Subtraímos 6.350 dos dois lados e depois dividimos por 50.
Por que esta fórmula: Subtraindo 6.350 de ambos os lados, obtemos 50x = 3.850. Depois, dividindo por 50, temos x = 77. Isso porque a operação inversa da multiplicação é a divisão.
De onde vem cada valor: = passo 6: 10.200 - 6.350 · = passo 6: coeficiente de x
Dividir 3.850 por 50 errado, ou esquecer de subtrair 6.350 antes de dividir.
Com x = 77, voltamos à equação da quantidade para achar y. Depois, calculamos a diferença pedida, que é o número de notas de 100 menos o de 50.
Por que esta fórmula: Usamos y = 127 - x, então y = 127 - 77 = 50. A diferença é x - y = 77 - 50 = 27. A ordem importa: a questão pede 'diferença entre o número de notas de R$ 100,00 e R$ 50,00', então é 100 menos 50.
De onde vem cada valor: = passo 2: total de notas · = passo 7: 77 · = passo 8: calculado · = passo 8: x - y
Calcular a diferença como y - x = 50 - 77 = -27, ou marcar a alternativa E (50) por ser o número de notas de 50.
Resposta: 27 (alternativa B)
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