Questão de Matemática — Geral — FUNDATEC 2024

Geometria Plana: Relações Métricas na Circunferência

Gabarito: letra A. A distância $PG$ é de 4 metros. O problema envolve um triângulo retângulo formado pelos pontos $O$ (centro), $T$ (ponto de tangência) e $G$ (ponto externo), onde $OT$ é o raio da circunferência, $TG$ é o segmento tangente e $OG$ é a hipotenusa.

Análise da Resolução

1. Identificação dos elementos: O diâmetro do silo é 5 m, logo o raio $r = OT = 2,5$ m. O segmento tangente $TG = 6$ m. O ponto $P$ está sobre o raio $OP$, logo $OP = r = 2,5$ m.

2. Triângulo Retângulo $OTG$: Como $TG$ é tangente à circunferência no ponto $T$, o raio $OT$ é perpendicular a $TG$. Assim, o triângulo $OTG$ é retângulo em $T$. Aplicando o Teorema de Pitágoras:

   $OG^2 = OT^2 + TG^2$

   $OG^2 = 2,5^2 + 6^2$

   $OG^2 = 6,25 + 36 = 42,25$

   $OG = \sqrt{42,25} = 6,5$ m.

3. Cálculo de $PG$: O segmento $OG$ é composto pelos segmentos $OP$ e $PG$ (colineares). Portanto, $OG = OP + PG$. Substituindo os valores conhecidos:

   $6,5 = 2,5 + PG$

   $PG = 6,5 - 2,5 = 4$ m.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ Gabarito

O valor calculado de 4 m está correto conforme a aplicação das relações métricas no triângulo retângulo $OTG$ e a decomposição do segmento $OG$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor 6,25 m corresponde ao quadrado do raio ($2,5^2$), não à distância solicitada.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor 9 m não possui relação direta com a geometria do problema proposto.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 10 m é um distrator comum em problemas de geometria que não se aplica a este cálculo.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor 13 m não condiz com as medidas obtidas pelo Teorema de Pitágoras.