Questão de Matemática — Funções — FUNDATEC 2024

Função Quadrática: Lei de Formação

Gabarito: letra A. A lei de formação da função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ pode ser determinada utilizando a forma do vértice $f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v$. Com os dados fornecidos, temos o vértice $V = (-5/3, -49/9)$ e o ponto de interseção com o eixo $y$ (ponto $P$) em $(0, -8/3)$. Substituindo o vértice na forma canônica, obtemos $f(x) = a(x + 5/3)^2 - 49/9$. Como o coeficiente líder $a$ é $1$ (conforme as alternativas), a função resulta em $f(x) = (x^2 + 10/3x + 25/9) - 49/9 = x^2 + 10/3x - 24/9$, que simplificado é $x^2 + 10/3x - 8/3$.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta a lei de formação correta $f(x) = x^2 + 10/3x - 8/3$. Ao verificar o ponto $P(0, -8/3)$, temos $f(0) = 0^2 + 10/3(0) - 8/3 = -8/3$, o que confirma a interseção com o eixo $y$. Além disso, o $x$ do vértice é dado por $x_v = -b/(2a) = -(10/3) / (2 \cdot 1) = -10/6 = -5/3$, que coincide com o valor fornecido no enunciado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A função $f(x) = 3x^2 + 10x - 8$ possui um coeficiente líder $a = 3$, o que altera a abertura da parábola e a posição do vértice em relação ao gráfico original. Além disso, o $x_v$ seria $-10/(2 \cdot 3) = -10/6 = -5/3$, mas o valor de $y_v$ seria $f(-5/3) = 3(25/9) - 50/3 - 8 = 25/3 - 50/3 - 24/3 = -49/3$, que é diferente de $-49/9$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A função $f(x) = x^2 - 10/3x - 8/3$ possui um $x_v = -(-10/3) / (2 \cdot 1) = 10/6 = 5/3$. Como o vértice no gráfico está à esquerda do eixo $y$ (abscissa negativa), esta função não corresponde ao gráfico apresentado.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Similar à alternativa B, esta função possui $a = 3$. O $x_v$ seria $-(-10) / (2 \cdot 3) = 10/6 = 5/3$, o que coloca o vértice no lado positivo do eixo $x$, contrariando a representação gráfica.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A função $f(x) = x^2 - 10x - 8/3$ possui um $x_v = -(-10) / (2 \cdot 1) = 5$. O vértice está muito distante da posição indicada no gráfico, além de apresentar um termo linear incompatível com a parábola dada.