GabaritoA — 3.215 m.
Gabarito: letra A — a conta chega a 3215 m — alternativa A.
A trigonometria estuda as relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. No triângulo retângulo, que tem um ângulo de 90°, as razões seno, cosseno e tangente ligam cada ângulo agudo aos lados: o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, o cosseno entre o cateto adjacente e a hipotenusa, e a tangente entre o cateto oposto e o adjacente. Essas razões são constantes para um mesmo ângulo, independentemente do tamanho do triângulo, e por isso permitem calcular lados desconhecidos quando conhecemos um ângulo e um lado.
A razão que relaciona o cateto oposto com a hipotenusa é o seno: sen(θ) = cateto oposto / hipotenusa. Se o ângulo cresce, o seno cresce (até 90°), e o cateto oposto fica maior em relação à hipotenusa. O cosseno, por outro lado, relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa, e a tangente relaciona os dois catetos. Cada razão serve para uma situação específica: para achar a altura (cateto oposto) a partir da hipotenusa, usamos o seno.
Nesta questão, a trajetória do helicóptero forma a hipotenusa de um triângulo retângulo imaginário, e a altura é o cateto oposto ao ângulo de 40°. Como conhecemos a hipotenusa e o ângulo, a razão que resolve é o seno.
ângulo com o solo = 40°
distância percorrida em linha reta = 5000 m
sen 40° = 0,643
cos 40° = 0,766
tan 40° = 0,839
O que queremos: a altura do helicóptero em relação ao solo
Antes de qualquer conta, precisamos visualizar a situação: o helicóptero sobe em linha reta formando um ângulo com o solo. Isso desenha um triângulo retângulo, onde a trajetória é a hipotenusa, a altura é o cateto oposto ao ângulo, e a distância horizontal é o cateto adjacente. Identificar os lados é o passo que decide qual razão trigonométrica usar.
Não desenhar e confundir os catetos: a altura é o cateto oposto ao ângulo de 40°, não o adjacente.
Temos a hipotenusa (5000 m) e queremos o cateto oposto (altura). A razão trigonométrica que relaciona exatamente esses dois lados é o seno: seno = cateto oposto / hipotenusa. Cosseno usaria o cateto adjacente, e tangente usaria os dois catetos — nenhum deles serve aqui, porque não temos o cateto adjacente.
Por que esta fórmula: A definição de seno em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. Como a altura é o cateto oposto e a trajetória é a hipotenusa, essa é a única razão que liga diretamente os dois valores conhecidos/incógnita.
De onde vem cada valor: = enunciado: 40° · = é a altura h, que queremos · = enunciado: 5000 m
Usar cosseno (0,766) porque confunde cateto oposto com adjacente — isso daria a distância horizontal, não a altura.
Agora que sabemos que a razão é o seno, substituímos o ângulo e a hipotenusa na fórmula. O seno de 40° foi dado no enunciado (0,643), então não precisamos calcular. A altura h fica como incógnita.
Por que esta fórmula: É a mesma fórmula do passo anterior, agora com os números no lugar: sen(40°) = h / 5000. Isso monta uma equação simples que vamos resolver no próximo passo.
De onde vem cada valor: = enunciado: sen 40° = 0,643 · = é a altura que queremos · = enunciado: distância percorrida em linha reta
Trocar os lados da fração: escrever 0,643 = 5000 / h, o que inverte a razão.
A equação 0,643 = h / 5000 tem a incógnita h dividida por 5000. Para descobrir h, precisamos 'soltá-la': multiplicamos os dois lados da equação por 5000, porque a operação inversa da divisão é a multiplicação. Isso é uma regra algébrica básica: o que está dividindo passa multiplicando do outro lado.
Por que esta fórmula: Multiplicar ambos os lados por 5000 mantém a igualdade e elimina o denominador do lado direito, deixando h sozinho.
De onde vem cada valor: = enunciado: distância percorrida em linha reta · = enunciado: sen 40° = 0,643
Dividir 5000 por 0,643 em vez de multiplicar — isso daria um valor maior que a hipotenusa, o que é impossível para um cateto.
Agora é só fazer a conta: 5000 × 0,643. Multiplicar por um número menor que 1 reduz o valor, o que faz sentido: a altura é menor que a distância percorrida, porque a trajetória é inclinada.
Por que esta fórmula: A multiplicação direta dos dois números dá o valor da altura em metros.
De onde vem cada valor: = passo 4 · = passo 4
Errar a conta de multiplicação: 5000 × 0,643 = 3215, não 3215,0? Cuidado com as casas decimais.
Resposta: 3215 m — alternativa A
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