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Questão de Matemática — Funções — FUNDATEC 2024

MatemáticaFunções
Código
qg174236
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Novo Hamburgo - RS
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática
Considere a função real f(x) = ax − 3(a + b) , em que a, b ∈ ℝ. Sabendo que f(1) = 2 e f(3) = −4, qual é o valor de f(6)?
  1. A– 29.
  2. B– 13.
  3. C0.
  4. D13.
  5. E29.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — – 13.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a f(6) = -13, alternativa B.

A ideia por trás

A função afim (ou função do 1º grau) tem a forma f(x) = mx + n, com m e n constantes, e seu gráfico é uma reta. Ela descreve situações em que a variação é constante: para cada aumento de 1 em x, o valor de f(x) cresce (ou decresce) sempre o mesmo tanto, dado pelo coeficiente m. O termo n é o valor da função quando x = 0, o ponto onde a reta corta o eixo y. Para determinar a lei de formação de uma função afim, precisamos conhecer dois pontos (x, f(x)): com eles montamos um sistema de equações e resolvemos para achar m e n. Nesta questão, a função é dada com uma expressão que parece diferente, mas é afim: f(x) = ax - 3(a + b), onde o termo -3(a + b) é uma constante (não depende de x). Usando os valores f(1) = 2 e f(3) = -4, montamos um sistema para achar a e b, e depois calculamos f(6).

O que a questão dá

  • f(x) = ax - 3(a + b)

  • f(1) = 2

  • f(3) = -4

O que queremos: o valor de f(6)

Passo 1 — Montar a equação para f(1)

Para descobrir os coeficientes a e b, precisamos de equações que os relacionem. Cada valor de x fornecido (1 e 3) gera uma equação ao substituir na expressão da função. Começamos com x = 1, pois é o primeiro dado.

Por que esta fórmula: Substituímos x por 1 na expressão f(x) = ax - 3(a + b) e igualamos a 2, pois f(1) = 2. Isso transforma a função em uma equação com as incógnitas a e b.

a⋅1−3(a+b)=2a \cdot 1 - 3(a + b) = 2

De onde vem cada valor: a⋅1a \cdot 1 = enunciado: f(x) = ax - 3(a + b), com x = 1 · 3(a+b)3(a + b) = enunciado: termo constante da função · 22 = enunciado: f(1) = 2

a−3a−3b=2a - 3a - 3b = 2
−2a−3b=2-2a - 3b = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de distribuir o -3: escrever a - 3a + 3b em vez de a - 3a - 3b.

Passo 2 — Montar a equação para f(3)

Com apenas uma equação e duas incógnitas, não dá para achar a e b. Precisamos de outra equação independente, e o segundo ponto fornecido (x = 3) nos dá isso.

Por que esta fórmula: Substituímos x por 3 na expressão da função e igualamos a -4, pois f(3) = -4. Isso gera a segunda equação do sistema.

a⋅3−3(a+b)=−4a \cdot 3 - 3(a + b) = -4

De onde vem cada valor: a⋅3a \cdot 3 = enunciado: f(x) = ax - 3(a + b), com x = 3 · 3(a+b)3(a + b) = enunciado: termo constante da função · −4-4 = enunciado: f(3) = -4

3a−3a−3b=−43a - 3a - 3b = -4
−3b=−4-3b = \boxed{-4}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal ao simplificar: 3a - 3a = 0, mas alguns escrevem 6a - 3b.

Passo 3 — Calcular o valor de b

A equação do passo 2 ficou simples: -3b = -4. Isolando b, descobrimos um dos coeficientes, que será usado para achar o outro.

Por que esta fórmula: Para isolar b, dividimos ambos os lados por -3, pois b está multiplicado por -3. Isso é o inverso da multiplicação.

b=−4−3b = \frac{-4}{-3}

De onde vem cada valor: −4-4 = passo 2: -3b = -4 · −3-3 = passo 2: coeficiente de b

b=43b = \frac{4}{3}
b=4 /3b = \boxed{4\ /3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que dividir dois negativos dá positivo: -4 ÷ -3 = +4/3, não -4/3.

Passo 4 — Substituir b na primeira equação

Agora que sabemos b = 4/3, podemos usar a equação do passo 1 para achar a. Substituímos o valor de b e resolvemos para a.

Por que esta fórmula: Na equação -2a - 3b = 2, trocamos b por 4/3. Isso deixa apenas a como incógnita, permitindo isolá-la.

−2a−3⋅43=2-2a - 3 \cdot \frac{4}{3} = 2

De onde vem cada valor: −2a-2a = passo 1: -2a - 3b = 2 · 43\frac{4}{3} = passo 3: b = 4/3 · 22 = passo 1: resultado da equação

−2a−4=2-2a - 4 = 2
−2a=6-2a = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação: 3 · (4/3) = 4, não 12/3 = 4, mas alguns escrevem 12/3 = 4 e depois erram o sinal.

Passo 5 — Calcular o valor de a

Com a equação -2a = 6, isolamos a para completar a determinação dos coeficientes. Isso é necessário para escrever a lei de formação.

Por que esta fórmula: Dividimos ambos os lados por -2, pois a está multiplicado por -2. Isso dá o valor de a.

a=6−2a = \frac{6}{-2}

De onde vem cada valor: 66 = passo 4: -2a = 6 · −2-2 = passo 4: coeficiente de a

a=−3a = -3
a=−3a = \boxed{-3}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal: 6 ÷ (-2) = -3, não +3.

Passo 6 — Escrever a lei de formação

Com a = -3 e b = 4/3, substituímos na expressão original para obter a função simplificada. Isso facilita o cálculo de f(6).

Por que esta fórmula: A função é f(x) = ax - 3(a + b). Substituímos a e b e simplificamos a constante: -3(a + b) = -3(-3 + 4/3) = -3(-5/3) = 5. Assim, f(x) = -3x + 5.

f(x)=−3x+5f(x) = -3x + 5

De onde vem cada valor: −3x-3x = passo 5: a = -3 · 55 = passo 5 e passo 3: -3(a + b) = -3(-3 + 4/3) = 5

f(x)=−3x+5f(x) = -3x + 5
f(x)=−3 x+5f(x) = \boxed{-3\ \text{x} + 5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a simplificação da constante: -3(-3 + 4/3) = -3(-5/3) = 5, não -5.

Passo 7 — Calcular f(6)

Agora que temos a lei de formação, basta substituir x por 6 para obter o valor pedido. Esse é o objetivo final da questão.

Por que esta fórmula: Usamos a função simplificada f(x) = -3x + 5, substituindo x por 6. Isso é direto: multiplicamos -3 por 6 e somamos 5.

f(6)=−3⋅6+5f(6) = -3 \cdot 6 + 5

De onde vem cada valor: −3-3 = passo 6: coeficiente de x · 66 = enunciado: queremos f(6) · 55 = passo 6: termo constante

f(6)=−18+5=−13f(6) = -18 + 5 = \boxed{-13}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal: -18 + 5 = -13, não +13. Muitos esquecem o sinal negativo do coeficiente.

Resposta: f(6) = -13, alternativa B

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