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Questão de Matemática — Matrizes — FUNDATEC 2024

MatemáticaMatrizes
Código
qg175200
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Passo Fundo - RS
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor de Ensino Fundamental - Matemática
O determinante da matriz A = [aij]2x2, tal que é aij = (i + 2j)², é igual a:
  1. A-76.
  2. B-17.
  3. C-2.
  4. D72.
  5. E724.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — -76.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a -76 (alternativa A).

A ideia por trás

O determinante de uma matriz é um número associado a ela que, para matrizes 2x2, mede a área do paralelogramo formado pelos vetores linha (ou coluna). Ele é calculado pela diferença entre os produtos das diagonais. Para montar a matriz, usamos a lei de formação que define cada elemento a partir de sua posição (linha i, coluna j). Nesta questão, precisamos construir a matriz aplicando a fórmula (i + 2j)² para cada posição e depois calcular o determinante.

O que a questão dá

  • matriz A = [aij]2x2

  • aij = (i + 2j)²

O que queremos: o determinante da matriz A

Passo 1 — Calcular o elemento a11

A matriz é 2x2, então precisamos dos quatro elementos. Começamos pelo primeiro, que fica na primeira linha e primeira coluna. Aqui, i=1 e j=1.

Por que esta fórmula: A lei de formação diz que cada elemento é (i + 2j)². Para a11, substituímos i por 1 e j por 1.

a11=(1+2⋅1)2a_{11} = (1 + 2 \cdot 1)^{2}

De onde vem cada valor: ii = enunciado: posição da linha, para a11 é 1 · jj = enunciado: posição da coluna, para a11 é 1

a11=(1+2⋅1)2=(1+2)2=32=9=9a_{11} = (1 + 2 \cdot 1)^{2} = (1 + 2)^{2} = 3^{2} = 9 = \boxed{9}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado, resultando em 3 em vez de 9.

Passo 2 — Calcular o elemento a12

Agora o elemento da primeira linha e segunda coluna. Aqui, i=1 e j=2.

Por que esta fórmula: Usamos a mesma lei de formação, substituindo i por 1 e j por 2.

a12=(1+2⋅2)2a_{12} = (1 + 2 \cdot 2)^{2}

De onde vem cada valor: ii = enunciado: posição da linha, para a12 é 1 · jj = enunciado: posição da coluna, para a12 é 2

a12=(1+2⋅2)2=(1+4)2=52=25=25a_{12} = (1 + 2 \cdot 2)^{2} = (1 + 4)^{2} = 5^{2} = 25 = \boxed{25}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem: usar i=2 e j=1, resultando em 16.

Passo 3 — Calcular o elemento a21

Agora o elemento da segunda linha e primeira coluna. Aqui, i=2 e j=1.

Por que esta fórmula: Usamos a mesma lei de formação, substituindo i por 2 e j por 1.

a21=(2+2⋅1)2a_{21} = (2 + 2 \cdot 1)^{2}

De onde vem cada valor: ii = enunciado: posição da linha, para a21 é 2 · jj = enunciado: posição da coluna, para a21 é 1

a21=(2+2⋅1)2=(2+2)2=42=16=16a_{21} = (2 + 2 \cdot 1)^{2} = (2 + 2)^{2} = 4^{2} = 16 = \boxed{16}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar i e j, resultando em 25.

Passo 4 — Calcular o elemento a22

Agora o elemento da segunda linha e segunda coluna. Aqui, i=2 e j=2.

Por que esta fórmula: Usamos a mesma lei de formação, substituindo i por 2 e j por 2.

a22=(2+2⋅2)2a_{22} = (2 + 2 \cdot 2)^{2}

De onde vem cada valor: ii = enunciado: posição da linha, para a22 é 2 · jj = enunciado: posição da coluna, para a22 é 2

a22=(2+2⋅2)2=(2+4)2=62=36=36a_{22} = (2 + 2 \cdot 2)^{2} = (2 + 4)^{2} = 6^{2} = 36 = \boxed{36}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular (2+2)^2 = 16 em vez de (2+4)^2 = 36.

Passo 5 — Montar a matriz com os elementos

Com os quatro elementos calculados, podemos escrever a matriz na forma padrão, com linhas e colunas.

Por que esta fórmula: A matriz 2x2 é montada colocando os elementos nas posições corretas: a11 na primeira linha e primeira coluna, a12 na primeira linha e segunda coluna, etc.

A=[a11a12a21a22]A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}

De onde vem cada valor: a11a_{11} = passo 1: 9 · a12a_{12} = passo 2: 25 · a21a_{21} = passo 3: 16 · a22a_{22} = passo 4: 36

A=[9251636]A = \begin{bmatrix} 9 & 25 \\ 16 & 36 \end{bmatrix}
A=[[9,25],[16,36]]A = \boxed{[[9, 25], [16, 36]]}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem dos elementos, colocando 25 na posição a21, por exemplo.

Passo 6 — Aplicar a fórmula do determinante

Para uma matriz 2x2, o determinante é a diferença entre o produto da diagonal principal e o produto da diagonal secundária. Isso é essencial para obter o valor final.

Por que esta fórmula: A fórmula do determinante de ordem 2 é det(A) = a11a22 - a12a21. É a definição padrão.

det⁡(A)=a11⋅a22−a12⋅a21\det(A) = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}

De onde vem cada valor: a11a_{11} = passo 1: 9 · a22a_{22} = passo 4: 36 · a12a_{12} = passo 2: 25 · a21a_{21} = passo 3: 16

det⁡(A)=9⋅36−25⋅16\det(A) = 9 \cdot 36 - 25 \cdot 16
324−400=−76324 - 400 = \boxed{-76}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar a ordem da subtração, resultando em 76 positivo.

Resposta: -76 (alternativa A)

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