Questão de Matemática — Polinômios — FUNDATEC 2024

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a k = -36 (alternativa D).

A ideia por trás

A divisibilidade de polinômios é o análogo da divisão exata entre números: quando um polinômio P(x) é divisível por outro Q(x), o resto da divisão é zero. O Teorema do Resto (ou Teorema de D'Alembert) afirma que, ao dividir P(x) por x – a, o resto é exatamente P(a). Isso significa que, para verificar se a divisão é exata, basta substituir x por a no polinômio e ver se o resultado é zero. Nesta questão, o divisor é x – 2, então a = 2; para que P(x) seja divisível, devemos ter P(2) = 0, o que nos permite encontrar k.

O que a questão dá

• P(x) = x⁴ + 2x³ – x² + 4x + k

• Q(x) = x – 2

• P(x) é divisível por Q(x)

O que queremos: o valor de k

Passo 1 — Substituir x por 2 no polinômio

Pelo Teorema do Resto, o resto da divisão de P(x) por x – 2 é P(2). Como queremos divisibilidade, esse resto deve ser zero, então precisamos calcular P(2).

Por que esta fórmula: O Teorema do Resto diz que o resto é P(a) quando dividimos por x – a. Aqui a = 2, então calculamos P(2).

De onde vem cada valor: $2^{4}$ = enunciado: termo x⁴ com x = 2 · $2 \cdot 2^{3}$ = enunciado: termo 2x³ com x = 2 · $-2^{2}$ = enunciado: termo -x² com x = 2 · $4 \cdot 2$ = enunciado: termo 4x com x = 2 · $k$ = enunciado: constante k

Passo 2 — Calcular as potências de 2

Precisamos dos valores numéricos das potências para simplificar a expressão de P(2).

Por que esta fórmula: Potências são multiplicações repetidas: 2⁴ = 2·2·2·2 = 16, 2³ = 2·2·2 = 8, 2² = 2·2 = 4.

De onde vem cada valor: $2^{4}$ = passo 1 · $2^{3}$ = passo 1 · $2^{2}$ = passo 1

Passo 3 — Simplificar a expressão de P(2)

Com as potências calculadas, agora fazemos as multiplicações e somas para obter uma expressão simples em função de k.

Por que esta fórmula: A expressão é uma soma de termos; primeiro fazemos as multiplicações (2·8 = 16, 4·2 = 8) e depois somamos tudo.

De onde vem cada valor: $16$ = passo 2: 2 $\cdot$ 2^3 = 2 $\cdot$ 8 · $-4$ = passo 2: -2^2 · $8$ = passo 2: 4 $\cdot$ 2 · $k$ = enunciado

Passo 4 — Igualar P(2) a zero e resolver para k

Para que P(x) seja divisível por x – 2, o resto (que é P(2)) deve ser zero. Então impomos P(2) = 0 e isolamos k.

Por que esta fórmula: A condição de divisibilidade é resto zero. Como o resto é P(2), temos a equação 36 + k = 0.

De onde vem cada valor: $36$ = passo 3: P(2) = 36 + k · $k$ = enunciado

Resposta: k = -36 (alternativa D)