Questão de Matemática — MMC e MDC — FUNDATEC 2024

MMC e MDC de expressões algébricas

Gabarito: letra E — o quociente entre o MMC e o MDC das expressões é $axy^2$. Para chegar a isso, fatoramos cada expressão, calculamos o MMC (fatores comuns e não comuns com maiores expoentes) e o MDC (fatores comuns com menores expoentes), e então dividimos um pelo outro.

A ideia por trás

MMC (Mínimo Múltiplo Comum) e MDC (Máximo Divisor Comum) são conceitos que se estendem dos números para expressões algébricas. Para expressões, o processo é análogo ao de números: fatoramos cada expressão em seus fatores primos (ou fatores algébricos irredutíveis) e aplicamos as mesmas regras.

• MMC: produto de todos os fatores (comuns e não comuns) elevados aos maiores expoentes.

• MDC: produto apenas dos fatores comuns elevados aos menores expoentes.

Vamos fatorar cada expressão:

1. $ax + bx = x(a + b)$

2. $ay^2 + by^2 = y^2(a + b)$

3. $a^2y + aby = ay(a + b)$

Agora, identificamos os fatores:

• Expressão 1: $x$, $(a+b)$

• Expressão 2: $y^2$, $(a+b)$

• Expressão 3: $a$, $y$, $(a+b)$

MMC: pegamos todos os fatores distintos com os maiores expoentes:

• $a$ (aparece em 3, expoente 1)

• $x$ (aparece em 1, expoente 1)

• $y^2$ (aparece em 2, expoente 2)

• $(a+b)$ (aparece em todas, expoente 1)

Portanto, $MMC = a \cdot x \cdot y^2 \cdot (a+b) = axy^2(a+b)$.

MDC: pegamos apenas os fatores comuns a todas as expressões com os menores expoentes:

• $(a+b)$ é o único fator comum a todas.

Portanto, $MDC = (a+b)$.

Quociente: $\frac{MMC}{MDC} = \frac{axy^2(a+b)}{(a+b)} = axy^2$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$a + b$ é apenas o fator comum $(a+b)$, que corresponde ao MDC, não ao quociente pedido. A banca tenta confundir quem identifica apenas o fator comum e esquece de calcular o MMC.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$a^2xy$ não corresponde ao quociente. O expoente de $a$ no resultado é 1, não 2. Esse valor seria obtido se, por engano, elevássemos $a$ ao quadrado no MMC.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$ax^2y$ também não é o quociente. Aqui o expoente de $x$ está errado (2 em vez de 1) e o de $y$ também (1 em vez de 2). É uma mistura incorreta dos expoentes.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$x + y$ não é o quociente. Essa alternativa confunde a soma das variáveis com o produto. O resultado correto envolve multiplicação, não adição.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$axy^2$ é exatamente o quociente obtido: $\frac{MMC}{MDC} = \frac{axy^2(a+b)}{(a+b)} = axy^2$. O fator comum $(a+b)$ se cancela, restando o produto das variáveis com seus expoentes corretos.

Gabarito: letra E