GabaritoA — 44, 22 e 4.
Gabarito: letra A — a conta chega a x = 44, y = 22, z = 4 — alternativa A.
A divisão em partes inversamente proporcionais é um conceito de proporcionalidade: quando dizemos que um número N será dividido em partes inversamente proporcionais a a, b, c, significa que cada parte é proporcional ao inverso do número correspondente. Ou seja, se as partes são x, y, z, então x : y : z = 1/a : 1/b : 1/c. A soma das partes é N. O método prático é: calcular a soma dos inversos S = 1/a + 1/b + 1/c, e cada parte é dada por N × (1/a) / S. Isso garante que as partes somam N e que são inversamente proporcionais. A pegadinha clássica é o aluno inverter a lógica e dividir diretamente por 1, 2 e 11 (como se fosse diretamente proporcional), obtendo valores como 35, 17,5 e 17,5 — que não estão nas alternativas. Outra pegadinha é esquecer de usar o inverso do terceiro número (11), tratando-o como se fosse diretamente proporcional. Nesta questão, precisamos aplicar esse método para encontrar x, y e z e depois conferir qual alternativa corresponde.
número total = 70
números dados = 1, 2 e 11
O que queremos: os valores de x, y e z que dividem 70 em partes inversamente proporcionais a 1, 2 e 11
Para dividir em partes inversamente proporcionais, precisamos primeiro somar os inversos dos números dados. Isso porque cada parte será proporcional ao inverso do número correspondente, e a soma desses inversos será o denominador comum que garante que as partes somem o total.
Por que esta fórmula: A soma dos inversos é a base do método: S = 1/a + 1/b + 1/c. Usamos isso porque a proporção inversa significa que as partes são proporcionais a 1/a, 1/b, 1/c, e a soma dessas frações é o fator de escala.
De onde vem cada valor: = enunciado: 1 · = enunciado: 2 · = enunciado: 11
Esquecer de somar o inverso de 11, usando apenas 1 + 1/2 = 3/2, o que leva a valores errados.
Agora que temos a soma dos inversos, podemos encontrar cada parte. A parte x corresponde ao inverso de 1, então usamos a fórmula com o primeiro número.
Por que esta fórmula: A fórmula para cada parte é N × (1/a) / S, onde N é o total, a é o número correspondente e S é a soma dos inversos. Isso garante que a parte seja proporcional ao inverso e que a soma das partes seja N.
De onde vem cada valor: = enunciado: 70 · = enunciado: 1 · = passo 1: 35/22
Inverter a fração: usar 70 × (35/22) em vez de 70 × (22/35), o que daria um número muito maior.
Seguindo o mesmo raciocínio, calculamos a parte y, que corresponde ao inverso de 2.
Por que esta fórmula: Usamos a mesma fórmula, agora com b = 2.
De onde vem cada valor: = enunciado: 70 · = enunciado: 2 · = passo 1: 35/22
Confundir o inverso de 2 com 2, usando 70 × 2 / (35/22), o que daria 88.
Por fim, calculamos a parte z, que corresponde ao inverso de 11.
Por que esta fórmula: Usamos a mesma fórmula, agora com c = 11.
De onde vem cada valor: = enunciado: 70 · = enunciado: 11 · = passo 1: 35/22
Esquecer de usar o inverso de 11, tratando como se fosse diretamente proporcional, o que daria um valor muito maior.
Para garantir que a divisão está correta, somamos as três partes e verificamos se o resultado é 70, o total original.
Por que esta fórmula: A soma das partes deve ser igual ao total N, pois estamos dividindo o número 70 em três partes.
De onde vem cada valor: = passo 2: 44 · = passo 3: 22 · = passo 4: 4 · = enunciado: 70
Não conferir a soma, aceitando qualquer alternativa que some 70, mas sem verificar a proporcionalidade inversa.
Resposta: x = 44, y = 22, z = 4 — alternativa A
Link permanente: /questoes/qg176217