Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg176219

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 2009 (alternativa D).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência em que cada termo é obtido somando-se uma constante (a razão) ao anterior. A soma dos termos de uma PA pode ser calculada pela fórmula Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2, que depende apenas do primeiro termo, do último e do número de termos. Uma propriedade importante é que a soma de termos equidistantes dos extremos é constante: a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = ... . Isso permite encontrar a soma dos extremos sem conhecer a razão. Nesta questão, temos a soma total e o número de termos, então podemos achar a₁ + a₁₀₀ e, a partir dela, a soma pedida, que é a soma total menos os extremos.

O que a questão dá

número de termos = 100
soma de todos os termos = 2050

O que queremos: a soma dos termos do segundo ao nonagésimo nono (a₂ + a₃ + ... + a₉₈ + a₉₉)

Passo 1 — Calcular a soma dos extremos

A soma total de uma PA é dada por Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2. Como conhecemos S₁₀₀ = 2050 e n = 100, podemos isolar a₁ + a₁₀₀, que é a soma do primeiro com o último termo. Essa soma é a chave para resolver o problema, pois os termos pedidos são todos menos esses dois.

Por que esta fórmula: A fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA é Sₙ = n·(a₁ + aₙ)/2, porque a soma pode ser agrupada em n/2 pares, cada um valendo a₁ + aₙ. É a fórmula direta para relacionar a soma total com os extremos.

S_{100} = \frac{100 \cdot (a_1 + a_{100})}{2}

De onde vem cada valor: $S_{100}$ = enunciado: 2050 · $100$ = enunciado: número de termos · $a_1 + a_{100}$ = incógnita

2050 = \frac{100 \cdot (a_1 + a_{100})}{2}

a₁ + a₁₀₀ = \boxed{41}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar por 2 ao isolar a soma dos extremos, obtendo 20,5 em vez de 41.

Passo 2 — Subtrair os extremos da soma total

A soma pedida (a₂ + a₃ + ... + a₉₈ + a₉₉) é exatamente a soma total menos o primeiro termo (a₁) e menos o último termo (a₁₀₀). Como já sabemos que a₁ + a₁₀₀ = 41, basta subtrair esse valor da soma total.

Por que esta fórmula: A soma pedida é o complemento da soma total em relação aos extremos: S₂₋₉₉ = S₁₀₀ − (a₁ + a₁₀₀). Não precisamos conhecer a₁ ou a₁₀₀ individualmente, apenas a soma deles.

S_{2-99} = S_{100} - (a_1 + a_{100})

De onde vem cada valor: $S_{100}$ = enunciado: 2050 · $a_1 + a_{100}$ = passo 1: 41

S_{2-99} = 2050 - 41 = \boxed{2009}

NÃO CAIA NESSA!

Subtrair apenas a₁ ou apenas a₁₀₀, esquecendo que são dois termos.

Resposta: 2009 (alternativa D)