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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FUNDATEC 2024

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
qg176222
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Rondinha - RS
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor de Matemática
Considerando os anagramas da palavra RONDAR, quantos apresentam as letras D, A e R juntas?
  1. A6.
  2. B24.
  3. C72.
  4. D144.
  5. E288.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 144.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 144 anagramas (alternativa D).

A ideia por trás

Anagramas são permutações das letras de uma palavra. Quando algumas letras devem ficar juntas, usamos o método do bloco: amarramos essas letras e as tratamos como um único elemento. A palavra RONDAR tem 6 letras, com a letra R repetida duas vezes. O número de permutações de n elementos com repetição é n! dividido pelo fatorial das repetições. Aqui, o desafio é que a condição envolve uma letra repetida (R), então precisamos contar com cuidado para não contar o mesmo anagrama duas vezes. Nesta questão, o bloco pode ser formado de 3! = 6 maneiras internas, mas como há duas letras R idênticas, algumas dessas maneiras são equivalentes. Depois, permutamos o bloco com as outras letras e ajustamos a contagem pela repetição.

O que a questão dá

  • palavra: RONDAR

  • letras: R, O, N, D, A, R (R repetida duas vezes)

  • condição: D, A e R juntas

O que queremos: o número de anagramas de RONDAR em que as letras D, A e R aparecem juntas

Passo 1 — Formar o bloco com D, A e R

Para garantir que D, A e R fiquem juntas, tratamos essas três letras como um único bloco. Isso reduz o problema a permutar blocos e letras soltas.

Por que esta fórmula: O número de permutações internas do bloco é 3! (fatorial de 3), pois são três letras distintas (D, A e R).

Pbloco=3!P_{bloco} = 3!

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: três letras D, A e R

Pbloco=3!=3×2×1=6P_{bloco} = 3! = 3 \times 2 \times 1 = \boxed{6}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que as letras dentro do bloco podem ser permutadas, contando apenas 1 forma.

Passo 2 — Contar os blocos distintos considerando as duas letras R

A palavra tem duas letras R idênticas. Ao escolher uma delas para o bloco, as permutações internas que apenas trocam as duas R não geram blocos diferentes. Por isso, dividimos por 2!.

Por que esta fórmula: Como há duas letras R idênticas, o número de blocos distintos é 3! dividido por 2! (fatorial das repetições).

B=3!2!B = \frac{3!}{2!}

De onde vem cada valor: 3!3! = passo 1: permutações internas do bloco · 2!2! = enunciado: duas letras R idênticas

B=62=3B = \frac{6}{2} = \boxed{3}
NÃO CAIA NESSA!

Não dividir por 2!, contando 6 blocos em vez de 3.

Passo 3 — Permutar o bloco com as letras restantes

Agora temos 4 elementos para organizar: o bloco, a letra O, a letra N e a letra R restante. O número de permutações desses 4 elementos é 4!.

Por que esta fórmula: Com 4 elementos distintos, o número de permutações é 4! (fatorial de 4).

P4=4!P_{4} = 4!

De onde vem cada valor: 44 = passo 2: bloco + letras O, N e R restante

P4=4×3×2×1=24P_{4} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = \boxed{24}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 3! em vez de 4!, esquecendo que o bloco conta como um elemento.

Passo 4 — Multiplicar os resultados parciais

Cada bloco distinto pode ser combinado com cada permutação dos 4 elementos. Pelo princípio multiplicativo, multiplicamos o número de blocos pelo número de permutações.

Por que esta fórmula: O total de anagramas é o produto do número de blocos distintos (passo 2) pelo número de permutações dos elementos (passo 3).

Total=B×P4Total = B \times P_{4}

De onde vem cada valor: BB = passo 2: 3 · P4P_{4} = passo 3: 24

Total=3×24=72Total = 3 \times 24 = \boxed{72}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar, parando no 24.

Passo 5 — Ajustar pela repetição da letra R

O valor 72 conta cada anagrama duas vezes, porque a letra R que ficou fora do bloco é idêntica à R que está dentro. Trocar uma pela outra não gera um anagrama novo. Por isso, multiplicamos por 2 para considerar as duas escolhas de qual R entra no bloco.

Por que esta fórmula: Como há duas letras R idênticas, cada anagrama foi contado uma vez para cada escolha de qual R está no bloco. Para corrigir, multiplicamos por 2 (ou, equivalentemente, dividimos por 2 se tivéssemos contado as R como distintas).

Totalfinal=Total×2Total_{final} = Total \times 2

De onde vem cada valor: TotalTotal = passo 4: 72 · 22 = enunciado: duas letras R idênticas

Totalfinal=72×2=144Total_{final} = 72 \times 2 = \boxed{144}
NÃO CAIA NESSA!

Não multiplicar por 2, achando que 72 já é a resposta final.

Resposta: 144 anagramas (alternativa D)

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