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Questão de Matemática — MMC e MDC — FUNDATEC 2024

MatemáticaMMC e MDC
Código
qg176451
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Salto do Jacuí - RS
Ano
2024
Nível
Fundamental
Cargo
Operador de Veículos e Máquinas Pesadas
Quantos divisores naturais os números 40 e 60 têm em comum?
  1. A5.
  2. B6.
  3. C7.
  4. D8.
  5. E9.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 6.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 6 divisores (letra B).

A ideia por trás

Um divisor comum de dois números é um número que divide ambos exatamente, sem deixar resto. Por exemplo, 4 divide 40 e também divide 60, então 4 é um divisor comum. O conjunto de divisores comuns é finito e o maior deles é o máximo divisor comum (MDC).

A propriedade que resolve a questão é: os divisores comuns de dois números são exatamente os divisores do MDC deles. Isso porque o MDC é o maior divisor comum, e qualquer divisor comum divide o MDC. Portanto, em vez de listar todos os divisores de 40 e de 60 e comparar, basta calcular o MDC e contar seus divisores.

Nesta questão, precisamos calcular o MDC(40, 60) e depois contar quantos divisores naturais esse MDC possui. Isso evita listar e comparar divisores, que é mais trabalhoso e sujeito a erros.

O que a questão dá

  • números: 40 e 60

O que queremos: quantos divisores naturais 40 e 60 têm em comum

Passo 1 — Fatorar 40 e 60 em primos

Para calcular o MDC, precisamos da decomposição em fatores primos de cada número. Fatorar significa escrever o número como produto de primos; isso revela quais fatores são comuns e com quais expoentes.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é a base para o cálculo do MDC, pois o MDC é formado pelos fatores comuns com os menores expoentes.

40=23×5,60=22×3×540 = 2^{3} \times 5, \quad 60 = 2^{2} \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 4040 = enunciado: número 40 · 6060 = enunciado: número 60

40=23×5,60=22×3×540 = 2^{3} \times 5, \quad 60 = 2^{2} \times 3 \times 5

40 = 2^3 × 5; 60 = 2^2 × 3 × 5

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o fator 3 em 60, ou errar os expoentes (por exemplo, escrever 60 = 2^2 × 3 × 5, mas confundir o expoente do 2).

Passo 2 — Calcular o MDC de 40 e 60

O MDC é o maior divisor comum; os divisores comuns são exatamente os divisores do MDC. Por isso, precisamos encontrá-lo primeiro.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores primos comuns, cada um elevado ao menor expoente entre as duas fatorações.

MDC(40,60)=2min⁡(3,2)×5min⁡(1,1)=22×5MDC(40, 60) = 2^{\min(3{,}2)} \times 5^{\min(1{,}1)} = 2^{2} \times 5

De onde vem cada valor: 2min⁡(3,2)2^{\min(3{,}2)} = passo 1: expoentes do fator 2 em 40 e 60 · 5min⁡(1,1)5^{\min(1{,}1)} = passo 1: expoentes do fator 5 em 40 e 60

MDC(40,60)=22×5=4×5=20=20MDC(40, 60) = 2^{2} \times 5 = 4 \times 5 = 20 = \boxed{20}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o maior expoente em vez do menor, ou incluir o fator 3 (que não é comum).

Passo 3 — Contar os divisores de 20

Como os divisores comuns de 40 e 60 são exatamente os divisores do MDC (20), contar os divisores de 20 nos dá a resposta.

Por que esta fórmula: Para contar divisores sem listar, usamos a fórmula: se n = p1^a × p2^b × ..., o número de divisores é (a+1)(b+1)... . Aqui, 20 = 2^2 × 5^1, então o número de divisores é (2+1)(1+1) = 6.

d(20)=(2+1)×(1+1)=3×2=6d(20) = (2+1) \times (1+1) = 3 \times 2 = 6

De onde vem cada valor: 22 = passo 2: expoente do 2 em 20 · 11 = passo 2: expoente do 5 em 20

d(20)=(2+1)×(1+1)=3×2=6=6 divisoresd(20) = (2+1) \times (1+1) = 3 \times 2 = 6 = \boxed{6\ \text{divisores}}
NÃO CAIA NESSA!

Listar os divisores de 40 (8) ou de 60 (12) e contar errado, ou esquecer o divisor 1.

Resposta: 6 divisores (letra B)

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