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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FUNDATEC 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
qg177040
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Segredo - RS
Ano
2024
Nível
Fundamental
Cargo
Auxiliar de Administração, Motorista I, Motorista II
Qual é o máximo divisor comum de 36 e 48?
  1. A4.
  2. B6.
  3. C8.
  4. D12.
  5. E18.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 12.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 12 (alternativa D).

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números é o maior número inteiro que divide todos eles sem deixar resto. Ele é usado, por exemplo, para simplificar frações ou dividir quantidades em partes iguais do maior tamanho possível. Para encontrá-lo, um método prático é fatorar cada número em fatores primos e multiplicar os fatores comuns, usando o menor expoente de cada um. Nesta questão, precisamos fatorar 36 e 48, identificar os fatores primos comuns e combinar seus menores expoentes para obter o MDC.

O que a questão dá

  • números: 36 e 48

O que queremos: o máximo divisor comum (MDC) de 36 e 48

Passo 1 — Fatorar o número 36 em primos

Para calcular o MDC, precisamos conhecer a composição prima de cada número. Fatorar significa escrever o número como produto de números primos, que são os 'tijolos' da multiplicação. Isso permite comparar os fatores comuns entre os números.

Por que esta fórmula: A fatoração prima é o método padrão para decompor um número em seus fatores primos, dividindo sucessivamente pelos menores primos até obter 1.

36=2×2×3×3=22×3236 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^{2} \times 3^{2}

De onde vem cada valor: 3636 = enunciado: 36

36=2×2×3×336 = 2 \times 2 \times 3 \times 3
36=22×3236 = \boxed{2^{2} \times 3^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, por exemplo, parar em 36 = 4 × 9, sem decompor 4 e 9 em primos.

Passo 2 — Fatorar o número 48 em primos

Assim como fizemos com 36, precisamos da fatoração de 48 para comparar os fatores comuns. Sem isso, não temos como saber quais primos aparecem nos dois números.

Por que esta fórmula: Mesmo método de fatoração prima, dividindo 48 pelos menores primos até chegar a 1.

48=2×2×2×2×3=24×348 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 = 2^{4} \times 3

De onde vem cada valor: 4848 = enunciado: 48

48=2×2×2×2×348 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3
48=24×348 = \boxed{2^{4} \times 3}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a quantidade de fatores 2: 48 tem quatro fatores 2, não três.

Passo 3 — Identificar os fatores primos comuns

O MDC é formado apenas pelos fatores que aparecem nos dois números. Comparando as fatorações, vemos quais primos estão presentes em ambas: o 2 e o 3. Isso reduz o problema a combinar esses fatores.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma comparação visual das fatorações obtidas nos passos 1 e 2.

Fatores comuns: 2 e 3

NÃO CAIA NESSA!

Incluir fatores que não são comuns, como o 2^4 de 48, que não aparece em 36 com esse expoente.

Passo 4 — Escolher os menores expoentes dos fatores comuns

No MDC, usamos o menor expoente de cada fator comum, porque o divisor comum não pode ter mais fatores do que o número que tem menos deles. Para o 2, o menor expoente entre 2² e 2⁴ é 2; para o 3, entre 3² e 3¹ é 1.

Por que esta fórmula: A regra do MDC: multiplicar os fatores comuns com os menores expoentes.

MDC=2menor expoente de 2×3menor expoente de 3MDC = 2^{\text{menor expoente de 2}} \times 3^{\text{menor expoente de 3}}

De onde vem cada valor: 2menor expoente de 22^{\text{menor expoente de 2}} = passo 1: 2^2 e passo 2: 2^4 → menor é 2^2 · 3menor expoente de 33^{\text{menor expoente de 3}} = passo 1: 3^2 e passo 2: 3^1 → menor é 3^1

MDC=22×31MDC = 2^{2} \times 3^{1}
MDC=22×3MDC = \boxed{2^{2} \times 3}
NÃO CAIA NESSA!

Usar os maiores expoentes, o que daria o MMC (2^4 × 3^2 = 144), não o MDC.

Passo 5 — Calcular o produto final

Com os fatores comuns e seus menores expoentes escolhidos, basta multiplicar para obter o valor numérico do MDC. Esse é o passo final do cálculo.

Por que esta fórmula: A multiplicação das potências resulta no MDC.

MDC=22×3MDC = 2^{2} \times 3

De onde vem cada valor: 222^{2} = passo 4: menor expoente de 2 · 33 = passo 4: menor expoente de 3

MDC=4×3=12MDC = 4 \times 3 = \boxed{12}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação: 2² = 4, não 2×2 = 4? (na verdade 2² = 4, mas alguns podem calcular 2×2 = 4 corretamente; o erro comum é esquecer de multiplicar pelo 3).

Resposta: 12 (alternativa D)

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