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Questão de Matemática — Circunferências — FUNDATEC 2024

MatemáticaCircunferências
Código
qg178108
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Vila Lângaro - RS
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Professor Ensino Fundamental Séries Finais Matemática
Considerando um círculo de raio r, ao dobrarmos o valor do seu raio, sua área se tornará:
  1. A2πr2
  2. B3πr2
  3. C4πr2
  4. D6πr2
  5. E8πr2
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GabaritoC — 4πr²

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 4πr² (alternativa C).

A ideia por trás

A área de um círculo mede a superfície interna da circunferência, ou seja, quanto espaço ele ocupa no plano. Ela depende do raio (distância do centro até a borda) e é dada por A = πr², onde π ≈ 3,14 é uma constante. Como o raio está elevado ao quadrado, a área cresce muito mais rápido que o raio: se você dobra o raio, a área quadruplica; se triplica, a área fica nove vezes maior. Isso acontece porque, ao aumentar o raio, você aumenta tanto o comprimento quanto a largura do círculo, e esses dois aumentos se multiplicam. Nesta questão, precisamos calcular a nova área quando o raio é dobrado, aplicando a fórmula com o novo valor.

O que a questão dá

  • raio original = r

  • novo raio = 2r

O que queremos: a nova área do círculo em função de r

Passo 1 — Escrever a fórmula da área

A área de um círculo é a medida da superfície interna. Para saber como ela muda quando o raio dobra, precisamos primeiro da fórmula que relaciona área e raio.

Por que esta fórmula: A área de um círculo é sempre calculada por A = πr², pois é a única fórmula que relaciona a área com o raio de forma correta (o π é uma constante e o raio aparece ao quadrado).

A=πr2A = \pi r^{2}

De onde vem cada valor: AA = área do círculo (incógnita) · π\pi = constante (~3,14) · rr = raio do círculo (enunciado: r)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o quadrado no raio e usar A = πr, que daria o comprimento da circunferência, não a área.

Passo 2 — Substituir o novo raio

O enunciado diz que o raio é dobrado, então o novo raio é 2r. Para calcular a nova área, precisamos colocar esse valor no lugar de r na fórmula.

Por que esta fórmula: A fórmula continua sendo a mesma, mas agora com o novo raio. Como o raio foi multiplicado por 2, substituímos r por 2r.

Anova=π(2r)2A_{nova} = \pi (2r)^{2}

De onde vem cada valor: π\pi = constante (~3,14) · 2r2r = novo raio (enunciado: raio dobrado)

Anova=π(2r)2A_{nova} = \pi (2r)^{2}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer os parênteses e escrever π2r², o que daria 2πr² (errado). O quadrado deve ser aplicado a todo o 2r.

Passo 3 — Calcular o quadrado de 2r

Para simplificar a expressão, precisamos calcular (2r)². Isso é necessário para comparar com as alternativas.

Por que esta fórmula: A propriedade da potenciação diz que (ab)² = a²b². Então (2r)² = 2² · r² = 4r².

(2r)2=22⋅r2=4r2(2r)^{2} = 2^{2} \cdot r^{2} = 4r^{2}

De onde vem cada valor: 22 = coeficiente do novo raio · rr = raio original

(2r)2=22⋅r2=4r2=4 r2(2r)^{2} = 2^{2} \cdot r^{2} = 4r^{2} = \boxed{4\ \text{r}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Calcular (2r)² como 2r², esquecendo de elevar o 2 também. Isso daria 2πr², que é a alternativa A (errada).

Passo 4 — Montar a nova área

Agora que sabemos que (2r)² = 4r², podemos substituir na expressão da nova área para obter o resultado final.

Por que esta fórmula: A nova área é π vezes o quadrado do novo raio. Como o quadrado é 4r², a área fica π · 4r².

Anova=π⋅4r2=4πr2A_{nova} = \pi \cdot 4r^{2} = 4\pi r^{2}

De onde vem cada valor: π\pi = constante (~3,14) · 4r24r^{2} = resultado do passo 3

Anova=π⋅4r2=4πr2=4 πr2A_{nova} = \pi \cdot 4r^{2} = 4\pi r^{2} = \boxed{4\ \pi \text{r}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem dos fatores e escrever 4πr² como π4r², mas isso é equivalente. O erro comum é achar que é 2πr² (alternativa A).

Resposta: 4πr² (alternativa C)

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