Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg178951

Decomposição em fatores primos

Gabarito: letra D. A decomposição de 540 em fatores primos é $2^2 \times 3^3 \times 5$ , pois 540 = 4 × 27 × 5 = 2² × 3³ × 5. As demais alternativas ou não usam apenas números primos ou não resultam em 540.

A decomposição em fatores primos (fatoração) é o processo de escrever um número natural como produto de números primos. Um número primo é aquele que possui exatamente dois divisores: 1 e ele mesmo (2, 3, 5, 7, 11...). O número 1 não é primo. Para fatorar, dividimos o número sucessivamente pelos menores primos possíveis até chegar a 1.

Vamos fatorar 540:

540 ÷ 2 = 270
270 ÷ 2 = 135
135 ÷ 3 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1

Assim, 540 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 = $2^2 \times 3^3 \times 5$ . Confirmando: $2^2 = 4$ , $3^3 = 27$ , e 4 × 27 × 5 = 540.

A pegadinha da banca está em apresentar produtos que parecem fatorações, mas contêm números compostos (como 4, 9, 20, 27, 54) ou que não resultam em 540. A alternativa correta é a única que usa apenas números primos e cujo produto é exatamente 540.

1540 ÷ 2 = 270
2270 ÷ 2 = 135
3135 ÷ 3 = 45
445 ÷ 3 = 15
515 ÷ 3 = 5
65 ÷ 5 = 1

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Critério	A) 4 × 27 × 5	B) 20 × 27	C) 54 × 2 × 5	D) 2² × 3³ × 5	E) 2 × 3 × 5 × 9 × 2
Resultado numérico	540 ✅	540 ✅	540 ✅	540 ✅	540 ✅
Todos os fatores são primos?	❌ (4 e 27 compostos)	❌ (20 e 27 compostos)	❌ (54 composto)	✅ (2, 3, 5 primos)	❌ (9 composto)
Forma canônica (potências agrupadas)?	❌	❌	❌	✅	❌ (2 repetido sem agrupar)
É a decomposição em fatores primos?	❌	❌	❌	✅ Gabarito	❌

Alternativa A — ❌ Incorreta

4 × 27 × 5 = 540, mas 4 e 27 não são primos (4 = 2², 27 = 3³). A fatoração em fatores primos exige que todos os fatores sejam primos.

Alternativa B — ❌ Incorreta

20 × 27 = 540, mas 20 e 27 não são primos (20 = 2² × 5, 27 = 3³). Além disso, não é uma decomposição em fatores primos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

54 × 2 × 5 = 540, mas 54 não é primo (54 = 2 × 3³). A presença do 54 invalida a decomposição.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$2^2 \times 3^3 \times 5$ = 4 × 27 × 5 = 540. Todos os fatores (2, 3, 5) são primos e o produto é exatamente 540. É a decomposição correta.

Alternativa E — ❌ Incorreta

2 × 3 × 5 × 9 × 2 = 540, mas 9 não é primo (9 = 3²). Além disso, o fator 2 aparece repetido sem ser agrupado em potência, o que não é a forma canônica da fatoração.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver rapidamente, fatorar o número e comparar com as alternativas. Desconfie de qualquer alternativa que contenha números compostos (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30...) — elas nunca são a decomposição em fatores primos. A forma correta sempre usa apenas primos e, se houver repetição, agrupa em potências.

Gabarito: letra D