Questão de Matemática — Função de 2º Grau ou Função Quadrática e Inequações — FUNDATEC 2024
Matemática›Função de 2º Grau ou Função Quadrática e Inequações
Código
qg178988
Banca
FUNDATEC
Órgão
SAAE de Coqueiral - MG
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Técnico em Química
O custo de produção (em milhares de reais) de determinado produto de uma indústria é modelado pela função C(x) = -x ² +20x – 16, onde x é o número de unidades produzidas. A partir da produção de quantas unidades o custo começa a reduzir?
A10.000.
B2.000.
C84.
D20.
E10.
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GabaritoE — 10.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 10 unidades (alternativa E).
A ideia por trás
A função quadrática é uma parábola, que tem um ponto de máximo ou de mínimo chamado vértice. Quando o coeficiente 'a' é negativo, a parábola tem concavidade para baixo, ou seja, ela sobe até um ponto mais alto e depois desce. Esse ponto mais alto é o vértice, e é exatamente onde a função deixa de crescer e passa a decrescer. A abscissa do vértice é dada por x_v = -b/(2a). Nesta questão, o custo é modelado por uma parábola com concavidade para baixo, então o custo máximo ocorre no vértice; a partir daí, o custo começa a reduzir. Precisamos encontrar esse x_v.
O que a questão dá
C(x) = -x² + 20x - 16 (custo em milhares de reais)
x = número de unidades produzidas
O que queremos: a quantidade de unidades a partir da qual o custo começa a reduzir
Passo 1 — Identificar os coeficientes da função
Para usar a fórmula do vértice, precisamos saber quem são a, b e c na função C(x) = ax² + bx + c. Aqui, a = -1, b = 20 e c = -16.
NÃO CAIA NESSA!
Confundir o sinal de a: a = -1, não 1. Isso muda a concavidade e o sentido do vértice.
Passo 2 — Calcular a abscissa do vértice
O vértice é o ponto onde a parábola muda de comportamento: antes dele a função cresce, depois dele decresce. Como a concavidade é para baixo, o vértice é o ponto de máximo, e é a partir dele que o custo começa a cair. Por isso precisamos calcular x_v.
Por que esta fórmula: A abscissa do vértice de uma parábola y = ax² + bx + c é sempre x_v = -b/(2a). Essa fórmula vem da derivada (ou da simetria da parábola) e é a única que dá o ponto exato de máximo ou mínimo.
De onde vem cada valor: = passo 1: b = 20 · = passo 1: a = -1
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o sinal de menos na fórmula, ou errar o sinal de a, o que daria x_v = -10.
Passo 3 — Interpretar o resultado
O valor x_v = 10 é a quantidade de unidades que produz o custo máximo. Como a parábola tem concavidade para baixo, para x > 10 a função é decrescente, ou seja, o custo começa a reduzir. Portanto, a partir de 10 unidades o custo cai.
NÃO CAIA NESSA!
Achar que o custo máximo é 84 (que é o valor de C(10)) e marcar a alternativa C. Mas a pergunta é sobre a quantidade de unidades, não o valor do custo.