Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg179719

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 193.846,15 (alternativa D).

A ideia por trás

Juros compostos são o regime em que os juros de cada período incidem sobre o montante do período anterior, gerando 'juros sobre juros'. A fórmula central é M = C·(1+i)^n, onde M é o montante, C o capital inicial, i a taxa por período e n o número de períodos. Os juros são a diferença entre montante e capital: J = M - C. Como a banca fornece os juros e não o capital, precisamos expressar o capital em função dos juros e do fator de capitalização: J = C·[(1+i)^n - 1], isolando C = J / [(1+i)^n - 1]. Depois, o montante é M = C + J. Nesta questão, o prazo de 2 anos deve ser convertido em semestres, e o fator de capitalização é dado pelo enunciado (1,06^4 = 1,26), que é usado como o fator total (1+i)^n.

O que a questão dá

taxa = 12% ao semestre
prazo = 2 anos
juros = R$ 40.000,00
fator dado: 1,06^4 = 1,26

O que queremos: o montante obtido

Passo 1 — Converter anos em semestres

A taxa é dada ao semestre, então o prazo precisa estar na mesma unidade para usar na fórmula dos juros compostos. Como cada ano tem 2 semestres, multiplicamos o número de anos por 2.

n = 2 \times 2

De onde vem cada valor: $2$ = enunciado: 2 semestres por ano

n = 2 \times 2 = \boxed{4\ \text{semestres}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e usar n = 2, o que daria um montante errado.

Passo 2 — Identificar o fator de capitalização

A fórmula do montante usa o fator (1+i)^n. O enunciado fornece o valor desse fator diretamente: 1,06^4 = 1,26. Esse é o dado que devemos usar, mesmo que a taxa nominal seja 12% ao semestre — a banca já forneceu o fator pronto.

(1+i)^n = 1{,}26

De onde vem cada valor: $(1+i)^n$ = enunciado: 1,06^4 = 1,26

(1+i)^n = 1{,}26 = \boxed{1{,}26}

NÃO CAIA NESSA!

Tentar calcular 1,12^4 manualmente, ignorando o dado fornecido, o que leva a um resultado que não bate com as alternativas.

Passo 3 — Calcular o capital inicial

Temos os juros (R$ 40.000,00) e o fator de capitalização (1,26). A relação entre juros e capital é J = C·[(1+i)^n - 1]. Isolando C, obtemos o capital inicial, que é necessário para achar o montante.

Por que esta fórmula: A fórmula dos juros compostos dá o montante como M = C·(1+i)^n. Os juros são a diferença entre montante e capital: J = M - C = C·(1+i)^n - C = C·[(1+i)^n - 1]. Portanto, para achar C a partir de J, usamos C = J / [(1+i)^n - 1].

C = \frac{J}{(1+i)^n - 1}

De onde vem cada valor: $J$ = enunciado: R$ 40.000,00 · $(1+i)^n$ = passo 2: 1,26

C = \frac{40000}{1{,}26 - 1}

$C$ = R$ 153.846,15

NÃO CAIA NESSA!

Usar J como se fosse o capital, ou esquecer de subtrair 1 no denominador.

Passo 4 — Calcular o montante

O montante é a soma do capital com os juros. Como já temos o capital (passo 3) e os juros (enunciado), basta somar.

Por que esta fórmula: Por definição, montante é o valor total após a aplicação: capital mais juros. Também poderia ser M = C·(1+i)^n, mas somar é mais direto.

M = C + J

De onde vem cada valor: $C$ = passo 3: R$ 153.846,15 · $J$ = enunciado: R$ 40.000,00

M = 153846{,}15 + 40000

$M$ = R$ 193.846,15

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar os juros e marcar o capital como resposta.

Resposta: R$ 193.846,15 (alternativa D)

Questão de Matemática — Matemática Financeira — FUNDATEC 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Converter anos em semestres

Passo 2 — Identificar o fator de capitalização

Passo 3 — Calcular o capital inicial

Passo 4 — Calcular o montante