Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg179940

Equação do 2º grau: resolução por Bhaskara e fatoração

Gabarito: letra C — as raízes da equação $x^2 - 5x + 6 = 0$ são $x = 2$ e $x = 3$ . Isso pode ser verificado substituindo os valores na equação ou aplicando a fórmula de Bhaskara, que é o método geral para resolver equações quadráticas da forma $ax^2 + bx + c = 0$ .

A equação quadrática é uma equação polinomial de grau 2, com a forma geral $ax^2 + bx + c = 0$ , onde $a \neq 0$ . Para resolvê-la, a fórmula de Bhaskara é:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

No caso da equação dada, temos $a = 1$ , $b = -5$ e $c = 6$ . Substituindo na fórmula:

x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}

Assim, as duas raízes são:

x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2

Portanto, a solução é $x = 2$ e $x = 3$ , que corresponde à alternativa C.

Outra forma de resolver é por fatoração: procuramos dois números que somados dão 5 e multiplicados dão 6. Esses números são 2 e 3, então a equação pode ser escrita como $(x - 2)(x - 3) = 0$ , o que confirma as raízes.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Os valores $x = 1$ e $x = 6$ não satisfazem a equação. Substituindo $x = 1$ : $1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 \neq 0$ . Substituindo $x = 6$ : $36 - 30 + 6 = 12 \neq 0$ . A soma das raízes corretas é 5, e o produto é 6; 1 e 6 somam 7, então não são as raízes.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Os valores $x = -2$ e $x = 6$ não são raízes. Substituindo $x = -2$ : $4 + 10 + 6 = 20 \neq 0$ . Substituindo $x = 6$ : $36 - 30 + 6 = 12 \neq 0$ . O sinal negativo de $-2$ já indica que não pode ser raiz, pois o produto das raízes é positivo (6), e o termo independente é positivo.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $x = 2$ e $x = 3$ são as raízes. Verificação: $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$ e $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$ . A soma é 5 e o produto é 6, exatamente os coeficientes da equação.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Os valores $x = -3$ e $x = 4$ não são raízes. Substituindo $x = -3$ : $9 + 15 + 6 = 30 \neq 0$ . Substituindo $x = 4$ : $16 - 20 + 6 = 2 \neq 0$ . O produto $-3 \times 4 = -12$ é negativo, mas o termo independente é positivo (6), o que já descarta essa combinação.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Os valores $x = 1$ e $x = 4$ não são raízes. Substituindo $x = 1$ : $1 - 5 + 6 = 2 \neq 0$ . Substituindo $x = 4$ : $16 - 20 + 6 = 2 \neq 0$ . A soma 1 + 4 = 5 até coincide com o coeficiente $b$ , mas o produto 1 × 4 = 4 não é igual a 6, então não são as raízes.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a pressa do candidato: algumas alternativas têm números que somam 5 (como 1 e 4), mas o produto não é 6. Lembre-se: para uma equação $x^2 - Sx + P = 0$ , as raízes devem ter soma $S$ e produto $P$ . Verifique sempre as duas condições.

PEGA ESSA DICA!

Para resolver rapidamente, procure dois números que somados dão o coeficiente de $x$ (com sinal trocado) e multiplicados dão o termo independente. No caso, 2 e 3. Se não encontrar de imediato, use Bhaskara.

Gabarito: letra C