Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg180271

Interseção de Funções: Parábola e Reta

Gabarito: letra B. Os pontos de interseção são (-1, 3) e (3, -1). Para encontrá-los, igualamos as duas funções: $x^2 - 3x - 1 = -x + 2$ , o que resulta na equação do 2º grau $x^2 - 2x - 3 = 0$ , cujas raízes são $x = -1$ e $x = 3$ . Substituindo esses valores em $g(x) = -x + 2$ , obtemos os respectivos valores de $y$ : 3 e -1.

O problema pede os pontos do plano cartesiano onde as duas funções coincidem, ou seja, onde os gráficos da parábola $f(x) = x^2 - 3x - 1$ e da reta $g(x) = -x + 2$ se cruzam. Geometricamente, a interseção de uma parábola com uma reta pode resultar em dois pontos, um ponto (quando a reta é tangente) ou nenhum ponto. Aqui, como a equação resultante tem duas raízes reais distintas, temos exatamente dois pontos de interseção.

O método é sempre o mesmo: igualar as expressões das funções e resolver a equação resultante. Vamos fazer isso passo a passo:

Igualamos $f(x) = g(x)$ :
$x^2 - 3x - 1 = -x + 2$

Passamos todos os termos para o lado esquerdo:
$x^2 - 3x - 1 + x - 2 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$

Resolvemos a equação do 2º grau. Podemos usar a fórmula de Bhaskara ou fatoração. Fatorando:
$(x - 3)(x + 1) = 0$
Portanto, $x = 3$ ou $x = -1$ .

Para cada valor de $x$ , calculamos o $y$ correspondente usando uma das funções (a mais simples é $g(x) = -x + 2$ ):
- Para $x = -1$ : $y = -(-1) + 2 = 1 + 2 = 3$ → ponto $(-1, 3)$ .
- Para $x = 3$ : $y = -3 + 2 = -1$ → ponto $(3, -1)$ .

Portanto, os pontos de interseção são $(-1, 3)$ e $(3, -1)$ , exatamente o que a alternativa B apresenta.

Interseção de Funções — só Parábola f(x): 0; só Reta g(x): 0; Parábola f(x)∩Reta g(x): 2

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta os pontos (1, 3) e (3, 1). O primeiro ponto (1, 3) não pertence a nenhuma das funções: $f(1) = 1 - 3 - 1 = -3$ e $g(1) = -1 + 2 = 1$ . O segundo ponto (3, 1) também não: $g(3) = -3 + 2 = -1$ , não 1. A banca troca os sinais das coordenadas, induzindo a um erro de cálculo.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, os pontos $(-1, 3)$ e $(3, -1)$ satisfazem ambas as funções. Verificação: $f(-1) = 1 + 3 - 1 = 3$ e $g(-1) = 3$ ; $f(3) = 9 - 9 - 1 = -1$ e $g(3) = -1$ . Confere.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta (-1, 3) e (-3, 1). O ponto (-3, 1) não é solução: $g(-3) = -(-3) + 2 = 5$ , não 1. Além disso, $x = -3$ não é raiz da equação $x^2 - 2x - 3 = 0$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta (1, -3) e (-3, 1). Nenhum dos dois pontos é solução. O ponto (1, -3) não pertence a $g$ : $g(1) = 1$ , não -3. O ponto (-3, 1) também não, como visto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta (-1, -3) e (-3, -1). O ponto (-1, -3) não é solução: $g(-1) = 3$ , não -3. O ponto (-3, -1) também não: $g(-3) = 5$ , não -1.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre os valores de $x$ e $y$ e a ordem dos pontos. Muitos candidatos, ao resolver a equação, encontram $x = -1$ e $x = 3$ , mas erram ao calcular o $y$ correspondente, trocando os sinais ou invertendo a ordem. Lembre-se: o ponto é sempre (x, y), e o $y$ é obtido substituindo o $x$ em qualquer uma das funções originais. Com treino, você evita essas trocas.

PEGA ESSA DICA!

Sempre que a questão pedir os pontos de interseção entre duas funções, iguale as expressões e resolva a equação resultante. Depois, substitua cada raiz em uma das funções para obter o $y$ . Confira sempre se o ponto encontrado satisfaz as duas funções — isso elimina erros de sinal.

Gabarito: letra B