Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg180274

Multiplicação de Polinômios

Gabarito: letra C. Ao multiplicar os binômios $(x+2)$ e $(x-3)$ pela propriedade distributiva, obtemos $x^2 - x - 6$ : $x \cdot x = x^2$ , $x \cdot (-3) = -3x$ , $2 \cdot x = 2x$ e $2 \cdot (-3) = -6$ ; somando os termos semelhantes, $-3x + 2x = -x$ . O resultado é o trinômio do 2º grau $x^2 - x - 6$ .

A multiplicação de polinômios é uma operação fundamental da álgebra. A regra é simples: cada termo do primeiro polinômio multiplica todos os termos do segundo (propriedade distributiva), e depois reduzimos os termos semelhantes. No caso de binômios como $(x+2)$ e $(x-3)$ , o processo é conhecido como "produto de binômios" e pode ser feito termo a termo:

$x \cdot x = x^2$
$x \cdot (-3) = -3x$
$2 \cdot x = 2x$
$2 \cdot (-3) = -6$

Somando: $x^2 + (-3x + 2x) - 6 = x^2 - x - 6$ .

A banca explora aqui um erro clássico: o candidato que soma os coeficientes de $x$ sem considerar o sinal de cada termo, ou que esquece de multiplicar os termos constantes corretamente. Vamos analisar cada alternativa.

1x · x = x²
2x · (−3) = −3x
32 · x = 2x
42 · (−3) = −6
5Somar: x² − x − 6

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Critério	A) x² – 5x + 6	B) x² + 6	C) x² – x – 6 (✅)	D) x² + x + 6	E) x² – 6
Termo x² (x·x)	✅ correto	✅ correto	✅ correto	✅ correto	✅ correto
Termo cruzado (−3x + 2x)	❌ −5x (erro de sinal/soma)	❌ ausente	✅ −x	❌ +x (sinal invertido)	❌ ausente
Termo constante (2·(−3))	❌ +6 (sinal errado)	❌ +6 (sinal errado)	✅ −6	❌ +6 (sinal errado)	✅ −6
Estrutura do polinômio	trinômio (erro no meio)	binômio (incompleto)	trinômio completo	trinômio (erros de sinal)	binômio (incompleto)
Teste com x=1 (deve dar −6)	1−5+6 = 2 ❌	1+6 = 7 ❌	1−1−6 = −6 ✅	1+1+6 = 8 ❌	1−6 = −5 ❌

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $x^2 - 5x + 6$ . O erro está no coeficiente de $x$ : em vez de $-x$ , aparece $-5x$ . Isso acontece se o candidato soma $2 + (-3) = -1$ corretamente, mas depois multiplica os termos de forma equivocada (por exemplo, $x \cdot (-3) + 2 \cdot x = -3x + 2x = -x$ , e não $-5x$ ). Além disso, o termo constante $+6$ indica que o candidato multiplicou $2 \cdot (-3)$ como $+6$ , ignorando o sinal negativo. O correto é $-6$ .

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $x^2 + 6$ . Aqui o candidato multiplicou apenas os termos de maior grau ( $x \cdot x = x^2$ ) e os termos constantes ( $2 \cdot (-3) = -6$ , mas com sinal trocado para $+6$ ), esquecendo completamente os termos cruzados $-3x$ e $2x$ . O resultado correto inclui o termo $-x$ .

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O polinômio resultante é $x^2 - x - 6$ . Aplicando a distributiva: $x \cdot x = x^2$ , $x \cdot (-3) = -3x$ , $2 \cdot x = 2x$ , $2 \cdot (-3) = -6$ . Somando os termos semelhantes: $-3x + 2x = -x$ . Portanto, $x^2 - x - 6$ .

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $x^2 + x + 6$ . O erro está no sinal do coeficiente de $x$ (deveria ser $-x$ , não $+x$ ) e no sinal do termo constante (deveria ser $-6$ , não $+6$ ). Isso ocorre se o candidato tratar $x-3$ como $x+3$ , invertendo os sinais.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $x^2 - 6$ . Aqui o candidato multiplicou apenas os termos de maior grau ( $x^2$ ) e os termos constantes ( $-6$ ), mas esqueceu os termos cruzados $-3x$ e $2x$ , que somados resultam em $-x$ . O polinômio correto é um trinômio, não um binômio.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre somar os coeficientes e multiplicar os termos. No produto de binômios, o termo do meio é a soma dos produtos cruzados: $x \cdot (-3) + 2 \cdot x = -3x + 2x = -x$ . Quem esquece os termos cruzados cai nas alternativas B ou E; quem erra os sinais cai em A ou D. Fique atento aos sinais!

PEGA ESSA DICA!

Para conferir rapidamente, use o caso particular $x=1$ : $(1+2)(1-3) = 3 \cdot (-2) = -6$ . O polinômio correto deve valer $-6$ quando $x=1$ . Teste: $1^2 - 1 - 6 = -6$ . ✅

Gabarito: letra C