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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — FUNDATEC 2024

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
qg180533
Banca
FUNDATEC
Órgão
AL-RS
Ano
2024
Nível
Médio
O número de senhas com 5 caracteres, sendo 3 algarismos e 2 letras, que é possível formar contendo as letras AL juntas e nessa ordem é de:
  1. A1.000.
  2. B3.000.
  3. C4.000.
  4. D6.000.
  5. E24.000.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 4.000.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 4.000 senhas (alternativa C).

A ideia por trás

O Princípio Fundamental da Contagem (PFC) é a base da análise combinatória: se uma escolha tem m possibilidades e, para cada uma delas, outra tem n possibilidades, o total é m × n. Aqui, a senha é formada por duas escolhas independentes: onde colocar o bloco 'AL' e quais algarismos usar. Quando um grupo de elementos deve ficar junto, podemos tratá-lo como um único bloco, reduzindo o número de itens a organizar. Nesta questão, as letras são fixas ('AL' nessa ordem), então não há permutação entre elas; apenas escolhemos a posição do bloco e os algarismos.

O que a questão dá

  • senha com 5 caracteres

  • 3 algarismos

  • 2 letras (AL) juntas e nessa ordem

O que queremos: o número de senhas possíveis

Passo 1 — Tratar 'AL' como um bloco único

Como as letras devem estar juntas e nessa ordem, podemos pensar no bloco 'AL' como um único elemento. Isso reduz o problema: em vez de 5 caracteres independentes, temos 4 itens para organizar: o bloco 'AL' e os 3 algarismos.

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 'AL' é um bloco fixo e tentar permutar as letras entre si.

Passo 2 — Contar as posições do bloco 'AL'

O bloco 'AL' pode ocupar 4 posições diferentes na senha de 5 caracteres: começa na posição 1, 2, 3 ou 4. Cada posição define onde os algarismos ficam.

Por que esta fórmula: Como o bloco tem 2 caracteres e a senha tem 5, o bloco pode começar em qualquer uma das 4 primeiras posições (5 - 2 + 1 = 4).

P=5−2+1P = 5 - 2 + 1

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: senha com 5 caracteres · 22 = enunciado: bloco 'AL' tem 2 letras

P=5−2+1=4 posic\co~esP = 5 - 2 + 1 = \boxed{4\ \text{posi}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar 3 posições, esquecendo que o bloco pode começar na posição 4.

Passo 3 — Calcular as combinações de algarismos

Cada um dos 3 algarismos pode ser qualquer dígito de 0 a 9, com repetição permitida. Pelo PFC, multiplicamos as possibilidades de cada posição.

Por que esta fórmula: Como cada algarismo tem 10 opções independentes, o total é 10 × 10 × 10.

A=103A = 10^{3}

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: algarismos de 0 a 9 · 33 = enunciado: 3 algarismos

A=10×10×10=1.000 combinac\co~esA = 10 \times 10 \times 10 = \boxed{1.000\ \text{combina}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 9 em vez de 10, esquecendo que o zero é permitido.

Passo 4 — Multiplicar posições e algarismos

As escolhas da posição do bloco e dos algarismos são independentes, então o total é o produto das duas quantidades.

Por que esta fórmula: Pelo PFC, se há 4 maneiras de posicionar o bloco e 1.000 maneiras de escolher os algarismos, o total é 4 × 1.000.

T=P×AT = P \times A

De onde vem cada valor: PP = passo 2: 4 posições · AA = passo 3: 1.000 combinações

T=4×1000=4.000 senhasT = 4 \times 1000 = \boxed{4.000\ \text{senhas}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar por 24 (4!) em vez de 4, tratando o bloco como permutável com os algarismos.

Resposta: 4.000 senhas (alternativa C)

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