Questão de Matemática — Função de 2º Grau ou Função Quadrática e Inequações — FUNDATEC 2024

Função Quadrática: Vértice da Parábola

Gabarito: letra D. Para a função $f(x) = 2x^2 + 4x + 1$, as coordenadas do vértice são $(-1, -1)$. Isso porque a abscissa do vértice é dada por $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$ e, substituindo na função, obtemos $y_v = f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -1$. Como o coeficiente $a = 2 > 0$, a parábola tem concavidade para cima e o vértice é o ponto de mínimo.

A função quadrática, também chamada de função polinomial do 2º grau, tem a forma $f(x) = ax^2 + bx + c$, com $a \neq 0$. Seu gráfico é uma parábola, e o vértice é o ponto onde a curva muda de direção — é o ponto de mínimo quando $a > 0$ (concavidade para cima) e de máximo quando $a < 0$ (concavidade para baixo). As coordenadas do vértice podem ser obtidas pelas fórmulas:

onde $\Delta = b^2 - 4ac$ é o discriminante. Outra forma de calcular $y_v$ é substituir $x_v$ diretamente na função, o que muitas vezes é mais rápido e evita erros de sinal.

A banca explora aqui a confusão entre o sinal da abscissa e o sinal da ordenada. Muitos candidatos calculam $x_v = -1$ corretamente, mas erram ao calcular $y_v$, ou trocam os sinais por descuido. Vamos ver cada alternativa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta o par $(1, 1)$. O erro está no sinal da abscissa: $x_v = -1$, não $1$. Além disso, a ordenada também está errada, pois $y_v = -1$. O candidato que marcou esta opção provavelmente esqueceu o sinal negativo na fórmula de $x_v$ e também errou o cálculo de $y_v$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta o par $(-1, 1)$. A abscissa está correta ($x_v = -1$), mas a ordenada está errada: $y_v = -1$, não $1$. Esse é um distrator clássico: o aluno acerta o $x$ do vértice, mas erra o sinal do $y$, talvez por não substituir corretamente na função ou por confundir com o valor de $c$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta o par $(1, -1)$. Aqui a ordenada está correta ($y_v = -1$), mas a abscissa está errada: $x_v = -1$, não $1$. O candidato que marcou esta opção provavelmente calculou $x_v$ sem o sinal negativo, esquecendo que a fórmula é $x_v = -\frac{b}{2a}$.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta o par $(-1, -1)$, que é exatamente o vértice da parábola. Vejamos o cálculo completo:

• $a = 2$, $b = 4$, $c = 1$

• $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -\frac{4}{4} = -1$

• $y_v = f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1$

Portanto, o vértice é $(-1, -1)$. Como $a = 2 > 0$, a concavidade é para cima e esse ponto é o mínimo da função.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta o par $(-2, -1)$. A ordenada está correta, mas a abscissa está errada: $x_v = -1$, não $-2$. Esse valor $-2$ poderia surgir de um erro de cálculo, como usar $b = 4$ e $a = 1$ (esquecendo o coeficiente $a = 2$), o que daria $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

Gabarito: letra D.