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Questão de Matemática — MMC e MDC — FUNDATEC 2024

MatemáticaMMC e MDC
Código
qg181406
Banca
FUNDATEC
Órgão
Prefeitura de Bagé - RS
Ano
2024
Nível
Médio
Considere que o valor de A seja igual ao Mínimo Múltiplo Comum entre os números 10 e 15 e que o valor de B seja igual valor do Máximo Divisor Comum entre os números 20 e 14. O resultado de (3 . A) : B² é igual a:
  1. A7,5.
  2. B15.
  3. C22,5.
  4. D30.
  5. E45.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 22,5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 22,5 (alternativa C).

A ideia por trás

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre dois números é o menor número positivo que é múltiplo de ambos; ele representa o menor 'encontro' nas tabuadas dos números. O Máximo Divisor Comum (MDC) é o maior número que divide ambos exatamente; ele representa o maior 'pedaço' comum que cabe nos dois. Para calcular o MMC, decompomos em fatores primos e pegamos os fatores comuns e não comuns com o maior expoente; para o MDC, pegamos apenas os fatores comuns com o menor expoente. Nesta questão, precisamos calcular cada um separadamente e depois substituir na expressão, lembrando de elevar B ao quadrado antes de dividir.

O que a questão dá

  • A = MMC(10, 15)

  • B = MDC(20, 14)

  • expressão: (3 · A) : B²

O que queremos: o valor de (3 · A) : B²

Passo 1 — Fatorar 10 e 15 em primos

Para achar o MMC, precisamos da decomposição em fatores primos de cada número. Fatorar significa escrever o número como produto de números primos (2, 3, 5, 7...). Isso é o primeiro passo porque o MMC é construído a partir desses fatores.

Por que esta fórmula: A fatoração é a base para o MMC: 10 = 2 × 5 e 15 = 3 × 5.

10=2×515=3×510 = 2 \times 5 \\ 15 = 3 \times 5

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: número 10 · 1515 = enunciado: número 15

10=2×515=3×510 = 2 \times 5 \\ 15 = 3 \times 5

10 = 2 × 5; 15 = 3 × 5

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar completamente, por exemplo, escrever 10 = 2 × 5 e 15 = 3 × 5, mas não perceber que o 5 é comum.

Passo 2 — Calcular o MMC de 10 e 15

Com as fatorações prontas, o MMC é o produto de todos os fatores primos, comuns e não comuns, cada um com o maior expoente. Aqui, os fatores são 2, 3 e 5, todos com expoente 1, então multiplicamos todos.

Por que esta fórmula: MMC = produto dos fatores comuns e não comuns com maior expoente. Como 2, 3 e 5 aparecem uma vez, o MMC é 2 × 3 × 5.

A=2×3×5A = 2 \times 3 \times 5

De onde vem cada valor: 22 = passo 1: fator de 10 · 33 = passo 1: fator de 15 · 55 = passo 1: fator comum

A=2×3×5A = 2 \times 3 \times 5
A=30A = \boxed{30}
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas os fatores comuns (5) e esquecer os não comuns (2 e 3), resultando em A = 5.

Passo 3 — Fatorar 20 e 14 em primos

Para o MDC, também precisamos das fatorações. Fatorar 20 e 14 nos mostra quais fatores são comuns.

Por que esta fórmula: A fatoração é a base para o MDC: 20 = 2² × 5 e 14 = 2 × 7.

20=22×514=2×720 = 2^{2} \times 5 \\ 14 = 2 \times 7

De onde vem cada valor: 2020 = enunciado: número 20 · 1414 = enunciado: número 14

20=22×514=2×720 = 2^{2} \times 5 \\ 14 = 2 \times 7

20 = 2² × 5; 14 = 2 × 7

NÃO CAIA NESSA!

Fatorar 14 como 2 × 7, mas esquecer que 20 tem 2², confundindo os expoentes.

Passo 4 — Calcular o MDC de 20 e 14

O MDC é o produto apenas dos fatores comuns, com o menor expoente. O único fator comum é o 2, e o menor expoente é 1 (em 14), então o MDC é 2.

Por que esta fórmula: MDC = produto dos fatores comuns com menor expoente. Como só o 2 é comum, e o menor expoente é 1, temos B = 2.

B=21B = 2^{1}

De onde vem cada valor: 212^{1} = passo 3: fator comum com menor expoente

B=2B = 2
B=2B = \boxed{2}
NÃO CAIA NESSA!

Pensar que o MDC é 4 porque ambos são pares, mas 14 não é divisível por 4.

Passo 5 — Substituir A e B na expressão

Agora que temos A = 30 e B = 2, substituímos na expressão (3 · A) : B². Isso é necessário para calcular o valor final.

Por que esta fórmula: A expressão dada é (3 · A) : B². Substituímos os valores de A e B.

(3⋅A):B2(3 \cdot A) : B^{2}

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: fator 3 · AA = passo 2: A = 30 · BB = passo 4: B = 2

(3×30):22=90 :4(3 \times 30) : 2^{2} = \boxed{90\ : 4}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar B ao quadrado, usando B = 2 em vez de B² = 4.

Passo 6 — Calcular a potência e a divisão

Agora resolvemos as operações: primeiro a potência 2² = 4, depois a divisão 90 : 4. A ordem importa: potência antes da divisão.

Por que esta fórmula: A expressão é 90 : 4, que é uma divisão simples.

90÷490 \div 4

De onde vem cada valor: 9090 = passo 5: 3 × 30 · 44 = passo 5: 2²

90÷4=22,590 \div 4 = \boxed{22{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Fazer 90 : 2 = 45, esquecendo o quadrado.

Resposta: 22,5 (alternativa C)

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