Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FUNDATEC 2024

Conjuntos numéricos: propriedades e classificações

Gabarito: letra C — a sequência correta é F – V – V – F. A primeira assertiva é falsa porque o produto de dois irracionais distintos pode ser racional (ex.: $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = 4$); a segunda é verdadeira por definição de número par; a terceira é verdadeira porque a diferença de dois naturais é sempre um inteiro (podendo ser negativa); e a quarta é falsa porque o número 2 é primo e par.

A questão testa o domínio das definições e propriedades dos conjuntos numéricos: naturais ($\mathbb{N}$), inteiros ($\mathbb{Z}$), racionais ($\mathbb{Q}$), irracionais ($\mathbb{I}$) e reais ($\mathbb{R}$). O candidato precisa conhecer não apenas as definições, mas também os contraexemplos que quebram generalizações apressadas — exatamente o que a banca explora aqui.

Vamos analisar cada assertiva com cuidado, pois cada uma delas esconde uma armadilha conceitual específica.

1ª assertiva — ❌ Falsa

"O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional."

Esta afirmação é falsa. O produto de dois números irracionais pode ser racional. O contraexemplo clássico é $\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$, que é um número racional (e inteiro). Outro exemplo: $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$. Portanto, não há garantia de que o produto de irracionais seja irracional — a afirmação generaliza indevidamente uma propriedade que não se sustenta.

2ª assertiva — ✅ Verdadeira

"Se um número natural é par, então ele é divisível por 2."

Esta afirmação é verdadeira por definição. Um número natural é considerado par se, e somente se, for divisível por 2, ou seja, se pode ser escrito na forma $2k$, com $k \in \mathbb{N}$. Exemplos: 2, 4, 6, 8, ... Todos são divisíveis por 2. Não há exceção a essa regra — é uma propriedade definidora do conceito de número par.

3ª assertiva — ✅ Verdadeira

"A diferença de dois números naturais distintos é sempre um número inteiro."

Esta afirmação é verdadeira. O conjunto dos números inteiros ($\mathbb{Z}$) inclui os naturais ($\mathbb{N}$) e seus opostos (negativos). Assim, a diferença entre dois naturais pode ser positiva, negativa ou zero, mas sempre será um número inteiro. Exemplo: $5 - 8 = -3$, que é um inteiro, embora não seja natural. A afirmação não diz que a diferença é natural — diz que é inteira, o que é correto.

4ª assertiva — ❌ Falsa

"Todo número primo é ímpar."

Esta afirmação é falsa. O número 2 é primo e é par. Ele é o único número primo par, pois qualquer outro número par maior que 2 é divisível por 2, além de 1 e por ele mesmo, portanto não é primo. A definição de número primo é: um número natural maior que 1 que possui apenas dois divisores naturais distintos (1 e ele mesmo). O 2 atende a essa definição, mas é par. Portanto, a afirmação generaliza incorretamente.

Gabarito: letra C — sequência F – V – V – F.