Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FUNDATEC 2024

Lógica Proposicional: Disjunção Exclusiva (ou exclusivo)

Gabarito: letra E. A expressão ¬p ∨ q, com o símbolo ∨ representando a disjunção exclusiva (ou exclusivo), é lida como "ou ¬p ou q". Como p é verdadeira (V) e q é verdadeira (V), temos ¬p falsa (F), e a disjunção exclusiva entre F e V resulta em verdadeiro (V). A alternativa E traduz exatamente essa estrutura: "Ou – 3 não é um número inteiro ou √29 é um número irracional".

A questão exige dois conhecimentos combinados: a classificação dos números nos conjuntos numéricos e a tabela-verdade dos conectivos lógicos. Vamos por partes.

Primeiro, avaliamos as proposições simples. A proposição p: "– 3 é um número inteiro" é verdadeira (V), pois o conjunto dos números inteiros (ℤ) inclui os números negativos, o zero e os positivos. A proposição q: "√29 é um número irracional" também é verdadeira (V), pois 29 não é um quadrado perfeito, logo sua raiz quadrada não pode ser expressa como uma fração de inteiros — é um número com representação decimal infinita e não periódica, ou seja, irracional.

Agora, a expressão pedida é ¬p ∨ q. O símbolo ¬ representa a negação, e o símbolo ∨, neste contexto, representa a disjunção exclusiva (também chamada de "ou exclusivo" ou XOR), que é diferente da disjunção inclusiva (o "ou" comum). A disjunção exclusiva é verdadeira apenas quando uma, e somente uma, das proposições é verdadeira. Como ¬p é falsa (F) e q é verdadeira (V), a disjunção exclusiva entre F e V é verdadeira (V).

A pegadinha da banca está justamente em usar o símbolo ∨ para representar a disjunção exclusiva, e não a inclusiva. Muitos candidatos, ao verem o símbolo ∨, pensam automaticamente na disjunção inclusiva (o "ou" do dia a dia, que é verdadeiro quando pelo menos uma das partes é verdadeira). No entanto, a leitura das alternativas deixa claro que a banca quer o "ou exclusivo", pois a alternativa E usa a palavra "Ou" no início, que é a forma clássica de expressar a disjunção exclusiva em linguagem natural.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa usa o conectivo "e" (conjunção), representado por ∧, e não a disjunção exclusiva ∨. Além disso, ela não aplica a negação ¬ sobre a proposição p, mantendo "– 3 é um número inteiro" em vez de "– 3 não é um número inteiro". Portanto, não corresponde à expressão ¬p ∨ q.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa usa o conectivo "se, e somente se" (bicondicional), representado por ↔, que é verdadeiro quando ambas as proposições têm o mesmo valor lógico. A expressão pedida é uma disjunção exclusiva, não uma bicondicional. Além disso, a estrutura "¬p se, e somente se q" não corresponde a ¬p ∨ q.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta "√29 não é um número irracional ou – 3 é um número inteiro", que seria a expressão ¬q ∨ p. Ela nega a proposição q em vez de p, e não usa a disjunção exclusiva. Portanto, não corresponde à expressão pedida.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa usa o conectivo "se... então" (condicional), representado por →, que é falso apenas quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. A expressão pedida é uma disjunção exclusiva, não uma condicional. A estrutura "Se ¬p, então q" não corresponde a ¬p ∨ q.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa traduz corretamente a expressão ¬p ∨ q. O "Ou" no início indica a disjunção exclusiva, e a estrutura "Ou ¬p ou q" corresponde exatamente a ¬p ∨ q. Como ¬p é falsa e q é verdadeira, a disjunção exclusiva é verdadeira, o que confirma a correção da alternativa.

Gabarito: letra E