Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg182610

Função quadrática: vértice e ponto de mínimo

Gabarito: letra D. O ponto de mínimo da função $f(x) = x^2 - 4x + 5$ é o vértice da parábola, calculado por $x_v = -\frac{b}{2a}$ e $y_v = f(x_v)$ . Com $a=1$ , $b=-4$ e $c=5$ , temos $x_v = -\frac{-4}{2\cdot 1} = 2$ e $y_v = f(2) = 2^2 - 4\cdot 2 + 5 = 1$ , resultando no par ordenado $(2, 1)$ .

A função quadrática, também chamada de função polinomial do 2º grau, tem a forma $f(x) = ax^2 + bx + c$ , com $a \neq 0$ . Seu gráfico é uma parábola, e o ponto de máximo ou de mínimo é o vértice dessa parábola. Quando o coeficiente $a$ é positivo, a concavidade é voltada para cima e o vértice é o ponto de mínimo; quando $a$ é negativo, a concavidade é voltada para baixo e o vértice é o ponto de máximo. No caso da questão, $a = 1 > 0$ , então o vértice é, de fato, o ponto de mínimo.

As coordenadas do vértice são dadas por:

x_v = -\frac{b}{2a} \quad \text{e} \quad y_v = f(x_v)

Substituindo os coeficientes:

x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2

y_v = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1

Portanto, o ponto de mínimo é $(2, 1)$ , que corresponde à alternativa D.

A banca explora a confusão entre o vértice e as raízes da função, ou entre as coordenadas $x$ e $y$ trocadas. É comum o candidato calcular as raízes (que não existem aqui, pois $\Delta = (-4)^2 - 4\cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4 < 0$ ) e se perder, ou inverter a ordem do par ordenado. A fórmula do vértice é direta e resolve a questão sem precisar das raízes.

1Identificar a, b, c
2x_v = -b/2a
3y_v = f(x_v)
4Par ordenado (x_v, y_v)

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Alternativa A — ❌ Incorreta

O par $(-1, -2)$ não corresponde ao vértice. O valor de $x_v$ é positivo (2), não negativo. Além disso, $f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10$ , não $-2$ . A alternativa mistura sinais e valores que não têm relação com o cálculo do vértice.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O par $(1, -2)$ também não é o vértice. $x_v = 2$ , não 1. E $f(1) = 1 - 4 + 5 = 2$ , não $-2$ . O valor de $y$ nunca é negativo para esta função, pois o mínimo é $y = 1$ (a parábola está toda acima do eixo x).

Alternativa C — ❌ Incorreta

O par $(-2, -1)$ inverte os sinais e a ordem. $x_v$ é positivo (2) e $y_v$ é positivo (1). A alternativa parece uma tentativa de usar as raízes (que não existem) ou de confundir o sinal do coeficiente $b$ .

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $x_v = 2$ e $y_v = f(2) = 1$ . O ponto de mínimo é exatamente $(2, 1)$ . A alternativa espelha corretamente o resultado da fórmula do vértice.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O par $(2, 2)$ acerta o valor de $x_v$ , mas erra o de $y_v$ . $f(2) = 1$ , não 2. O erro está em calcular $y_v$ de forma incorreta, talvez esquecendo de subtrair o termo $4x$ ou somando o termo independente de forma errada.

NÃO CAIA NESSA!

A banca troca as coordenadas do vértice ou usa valores que parecem plausíveis, mas não correspondem ao cálculo. Aqui, a alternativa E acerta o $x$ e erra o $y$ , e a alternativa C inverte os sinais. O candidato que decora a fórmula, mas erra a conta, cai nessas armadilhas. Sempre confira o valor de $y_v$ substituindo $x_v$ na função.

PEGA ESSA DICA!

Para questões de vértice, memorize as fórmulas $x_v = -\frac{b}{2a}$ e $y_v = f(x_v)$ . Se a função estiver na forma canônica $f(x) = a(x - h)^2 + k$ , o vértice é $(h, k)$ — nesse caso, $f(x) = (x - 2)^2 + 1$ , então o vértice é $(2, 1)$ diretamente. Resolver completando quadrados é um atalho poderoso.

Gabarito: letra D