Um conjunto com quatro lâmpadas coloridas – amarela, vermelha, verde e azul – acendem e apagam intermitentemente. Todas ficam apenas 1 segundo acesas, porém o tempo que levam para acender é exclusivo, conforme abaixo:
Amarela: 8 segundos.
Vermelha: 10 segundos.
Verde: 12 segundos.
Azul: 15 segundos.
Após ligado o circuito e as lâmpadas começarem a acender e apagar, em determinado instante, todas acenderam juntas.
Assinale a alternativa que indica o tempo que levará para que todas acendam juntas novamente.
A100 segundos.
B120 segundos.
C150 segundos.
D160 segundos.
E180 segundos.
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GabaritoB — 120 segundos.
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Resolução
Gabarito: letra B — a conta chega a 120 segundos (alternativa B).
A ideia por trás
O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) entre dois ou mais números é o menor número que é múltiplo de todos eles. No mundo real, ele serve para descobrir quando eventos periódicos coincidem: se uma lâmpada acende a cada 8 segundos e outra a cada 10, o primeiro instante em que ambas acendem juntas é o MMC de 8 e 10, pois esse tempo precisa ser múltiplo dos dois períodos ao mesmo tempo. O MMC é calculado fatorando os números em primos e tomando cada fator com o maior expoente que aparece; por exemplo, o MMC de 4 e 6 é 12, porque 4 = 2² e 6 = 2·3, então pegamos 2² e 3. Nesta questão, temos quatro períodos diferentes, e o instante em que todos coincidem é o MMC de 8, 10, 12 e 15 — precisamos calculá-lo para achar a resposta.
O que a questão dá
período da lâmpada amarela = 8 s
período da lâmpada vermelha = 10 s
período da lâmpada verde = 12 s
período da lâmpada azul = 15 s
O que queremos: o menor tempo até as quatro lâmpadas acenderem juntas novamente
Passo 1 — Fatorar cada período em primos
Para calcular o MMC, precisamos da decomposição em fatores primos de cada número. Isso mostra os 'blocos' que compõem cada período, e o MMC será o produto dos maiores blocos de cada tipo.
Por que esta fórmula: A fatoração em primos é o método padrão para achar o MMC: escrevemos cada número como produto de primos e depois combinamos os fatores com os maiores expoentes.
De onde vem cada valor: = enunciado: período da amarela · = enunciado: período da vermelha · = enunciado: período da verde · = enunciado: período da azul
8 = 2³, 10 = 2·5, 12 = 2²·3, 15 = 3·5
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de fatorar completamente, como escrever 12 = 2·6 em vez de 2²·3.
Passo 2 — Tomar cada primo com maior expoente
O MMC precisa conter cada fator primo na maior potência que aparece em qualquer um dos números. Assim, garantimos que o resultado seja múltiplo de todos eles.
Por que esta fórmula: A regra do MMC: para cada primo, escolhemos o maior expoente entre as fatorações. Aqui, o 2 aparece com expoentes 3, 1 e 2; o maior é 3. O 3 aparece com expoente 1 (em 12 e 15), e o 5 também com expoente 1.
De onde vem cada valor: = passo 1: maior expoente de 2 (em 8) · = passo 1: expoente de 3 (em 12 e 15) · = passo 1: expoente de 5 (em 10 e 15)
NÃO CAIA NESSA!
Pegar o menor expoente (confundindo com MDC) ou esquecer algum primo, como o 3.
Passo 3 — Multiplicar os fatores escolhidos
Agora que temos os fatores primos com os maiores expoentes, o produto deles é o MMC, ou seja, o menor número que é múltiplo de todos os períodos.
Por que esta fórmula: O MMC é o produto dos fatores primos selecionados. Multiplicamos 2³ = 8, 3 e 5 para obter o valor numérico.
De onde vem cada valor: = passo 2 · = passo 2 · = passo 2
NÃO CAIA NESSA!
Errar a multiplicação, como fazer 8·3=24 e depois 24·5=120, mas trocar a ordem e errar.