Questão de Matemática — Geometria Espacial — FUNDATEC 2024

Volume do paralelepípedo reto

Gabarito: letra B. O volume de um paralelepípedo reto é o produto das três dimensões: largura × profundidade × altura. Substituindo as expressões dadas, temos $(x+1)(2x-2)(x)$, que simplifica para $2x^3 - 2x$ — exatamente a alternativa B.

O paralelepípedo reto (ou retângulo, ou ortoedro) é um prisma cujas bases e faces laterais são retângulos. O volume de qualquer prisma é área da base × altura; no paralelepípedo retângulo, isso equivale ao produto das três arestas que concorrem em um vértice: $V = a \cdot b \cdot c$. Aqui, as dimensões são dadas por expressões algébricas, então basta multiplicá-las e simplificar o polinômio resultante.

Vamos ao cálculo passo a passo:

1. Escreva o produto das três dimensões: $V = (x+1)(2x-2)(x)$.

2. Multiplique os dois primeiros fatores: $(x+1)(2x-2) = 2x^2 - 2x + 2x - 2 = 2x^2 - 2$.

3. Multiplique o resultado por $x$: $(2x^2 - 2) \cdot x = 2x^3 - 2x$.

Portanto, o volume é $2x^3 - 2x$.

A pegadinha aqui é puramente algébrica: muitos candidatos multiplicam apenas dois fatores ou erram a distributiva, chegando a polinômios como $2x^2 - 2x$ (alternativa A) ou $2x^3 + 2x^2 - 2x$ (alternativa C). A chave é aplicar a propriedade distributiva com cuidado e lembrar que o volume envolve o produto das três dimensões.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $2x^2 - 2x$, que é o resultado de multiplicar apenas $(x+1)(2x-2)$ — ou seja, esquece de multiplicar pela altura $x$. O volume exige o produto das três dimensões, não apenas de duas.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

É exatamente o resultado da multiplicação $(x+1)(2x-2)(x) = 2x^3 - 2x$. Confere com o cálculo passo a passo.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$2x^3 + 2x^2 - 2x$ surge de um erro na distributiva: provavelmente o candidato fez $(x+1)(2x-2) = 2x^2 + 2x - 2$ (errando o sinal do termo $-2x$) e depois multiplicou por $x$. O termo correto é $-2x$, não $+2x^2$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$X^3 + 4x^2 + 2x$ não corresponde a nenhuma simplificação correta do produto. Parece resultado de uma multiplicação equivocada, como se as dimensões fossem outras (por exemplo, somar em vez de multiplicar).

Alternativa E — ❌ Incorreta

$X^3 + 4x^2 - 4x$ também não é o produto correto. Provavelmente o candidato errou a distributiva ou confundiu os coeficientes. O termo de maior grau correto é $2x^3$, não $x^3$.

Gabarito: letra B