Questão de Matemática — Matemática Financeira — FUNDATEC 2024

Juros Simples: encontrando o tempo para triplicar o capital

Gabarito: letra B — o capital deve ficar aplicado por 50 meses, o que equivale a 4 anos e 2 meses. No regime de juros simples, o montante é dado por $M = C \cdot (1 + i \cdot n)$; para que $M = 3C$, precisamos que $1 + i \cdot n = 3$, ou seja, $n = \frac{2}{i}$. Com $i = 4\%$ ao mês, $n = \frac{2}{0,04} = 50$ meses.

A questão cobra a aplicação direta da fórmula do montante em juros simples, exigindo apenas uma manipulação algébrica simples. O ponto central é entender que, no regime simples, os juros crescem linearmente com o tempo: a cada mês, o capital rende exatamente $i \cdot C$. Para triplicar, o rendimento total ($J$) deve ser igual a $2C$ (porque $M = C + J = 3C \Rightarrow J = 2C$).

A fórmula que relaciona todas as variáveis é:

onde $C$ é o capital inicial, $i$ é a taxa de juros (na mesma unidade do tempo), $n$ é o número de períodos e $M$ é o montante final. Essa fórmula é a base de toda a matemática financeira de juros simples e aparece em inúmeras questões de concurso.

A pegadinha mais comum nesse tipo de questão é esquecer de converter a unidade do tempo: a taxa é dada ao mês, então o tempo encontrado em meses precisa ser convertido para anos e meses. Outra armadilha é confundir o montante com o juro: o montante é o triplo, mas o juro é o dobro do capital. Vamos resolver passo a passo:

1. Montante desejado: $M = 3C$.

2. Fórmula do montante: $M = C \cdot (1 + i \cdot n)$.

3. Substituindo: $3C = C \cdot (1 + 0,04 \cdot n)$.

4. Dividindo por $C$ (com $C \neq 0$): $3 = 1 + 0,04 \cdot n$.

5. Isolando $n$: $0,04 \cdot n = 2 \Rightarrow n = \frac{2}{0,04} = 50$ meses.

6. Convertendo para anos e meses: $50$ meses = $4$ anos e $2$ meses (pois $1$ ano = $12$ meses, $4$ anos = $48$ meses, sobram $2$ meses).

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o tempo seria de 3 anos e 8 meses, ou seja, $3 \times 12 + 8 = 44$ meses. Com $n = 44$, o montante seria $M = C \cdot (1 + 0,04 \cdot 44) = C \cdot (1 + 1,76) = 2,76C$, que é menor que $3C$. O erro está em subestimar o tempo necessário: para triplicar, precisamos de $n = 50$ meses, não $44$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como calculado, $n = 50$ meses, que equivale a 4 anos e 2 meses. Verificação: $M = C \cdot (1 + 0,04 \cdot 50) = C \cdot (1 + 2) = 3C$. Exatamente o triplo do capital.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o tempo seria de 5 anos, ou seja, $60$ meses. Com $n = 60$, o montante seria $M = C \cdot (1 + 0,04 \cdot 60) = C \cdot (1 + 2,4) = 3,4C$, que é maior que $3C$. O erro está em superestimar o tempo: $60$ meses renderiam $140\%$ de juros, enquanto precisamos de apenas $200\%$ de juros (o dobro do capital).

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o tempo seria de 5 anos e 2 meses, ou seja, $5 \times 12 + 2 = 62$ meses. Com $n = 62$, o montante seria $M = C \cdot (1 + 0,04 \cdot 62) = C \cdot (1 + 2,48) = 3,48C$, ainda maior que $3C$. O erro é o mesmo da alternativa C: tempo além do necessário.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que o tempo seria de 5 anos e 6 meses, ou seja, $5 \times 12 + 6 = 66$ meses. Com $n = 66$, o montante seria $M = C \cdot (1 + 0,04 \cdot 66) = C \cdot (1 + 2,64) = 3,64C$, bem acima do triplo. O erro é o mesmo: superestimação do tempo.

Gabarito: letra B