Questão de Matemática — Álgebra — FUNDATEC 2024

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 15 anos (alternativa A).

A ideia por trás

Problemas com idades são, na essência, problemas de equação do 1º grau. A estratégia é sempre a mesma: traduzir o texto para a linguagem matemática, escolhendo uma letra para representar a idade desconhecida e montando a igualdade que o enunciado descreve. Aqui, a incógnita é a idade de Marcos, que vamos chamar de x. O enunciado diz: 'A idade de Marcos menos 6 é igual a 3/5 da idade dele'. Vamos decompor: 'A idade de Marcos menos 6' → x - 6; 'é igual a' → =; '3/5 da idade dele' → (3/5)x. Montando a equação: x - 6 = (3/5)x. Agora resolvemos: subtraia (3/5)x dos dois lados, some 6, multiplique por 5/2, obtendo x = 15. A pegadinha aqui é sutil: muitos alunos, ao ler 'menos 6 é igual a 3/5', montam 6 - x = (3/5)x (invertendo a ordem da subtração) ou esquecem de multiplicar a fração pela idade inteira. A ordem importa: 'a idade menos 6' é x - 6, não 6 - x.

O que a questão dá

• idade de Marcos = x (incógnita)

• 3/5 da idade de Marcos

O que queremos: a idade de Marcos

Passo 1 — Traduzir o texto para equação

Para resolver o problema, precisamos transformar a frase em uma igualdade matemática. A incógnita é a idade de Marcos, que chamaremos de x. A frase 'a idade de Marcos menos 6' vira x - 6, e '3/5 da idade dele' vira (3/5)x. Como uma parte é igual à outra, montamos a equação.

Por que esta fórmula: A equação x - 6 = (3/5)x representa exatamente a relação descrita no enunciado: a idade menos 6 é igual a três quintos da idade.

De onde vem cada valor: $x$ = enunciado: idade de Marcos (incógnita) · $6$ = enunciado: 'menos 6' · $\frac{3}{5}$ = enunciado: '3/5 da idade dele'

Passo 2 — Isolar os termos com x

Para resolver a equação, precisamos deixar todos os termos com x de um lado e os números do outro. Subtraímos (3/5)x dos dois lados para eliminar a fração do lado direito.

Por que esta fórmula: Subtrair (3/5)x dos dois lados mantém a igualdade e agrupa os termos com x.

De onde vem cada valor: $x$ = passo 1 · $\frac{3}{5}x$ = passo 1 · $6$ = passo 1

Passo 3 — Combinar os termos com x

Agora que os termos com x estão juntos, podemos combiná-los. x é o mesmo que (5/5)x, então x - (3/5)x = (2/5)x.

Por que esta fórmula: Para subtrair frações, precisamos de denominadores comuns. Como x = (5/5)x, a subtração fica (5/5 - 3/5)x = (2/5)x.

De onde vem cada valor: $\frac{2}{5}x$ = passo 2: x - (3/5)x = (2/5)x · $6$ = passo 2

Passo 4 — Isolar o termo com x

Para encontrar x, precisamos deixá-lo sozinho. Somamos 6 aos dois lados para eliminar o -6.

Por que esta fórmula: Somando 6 dos dois lados, a igualdade se mantém e o termo constante desaparece do lado esquerdo.

De onde vem cada valor: $\frac{2}{5}x$ = passo 3 · $6$ = passo 3: -6 + 6 = 0, então sobra 6 do lado direito

Passo 5 — Multiplicar pelo inverso da fração

Para eliminar o coeficiente 2/5, multiplicamos ambos os lados pelo seu inverso, 5/2. Isso isola x.

Por que esta fórmula: Multiplicar pelo inverso de uma fração é o mesmo que dividir por ela, mas é mais direto. (2/5)x · (5/2) = x.

De onde vem cada valor: $6$ = passo 4 · $\frac{5}{2}$ = inverso de 2/5

Resposta: 15 anos (alternativa A)