Após frequentes temporadas de seca e de falta de água, uma comunidade decidiu construir uma cisterna para acumular água no período de chuvas. A cisterna deverá ter formato de um cilindro circular reto com uma profundidade interna de 4 metros e atender à demanda de 10 casas com 4 habitantes cada por pelo menos 10 dias. Sabendo que o consumo médio diário de cada habitante é de 120 litros, o diâmetro interno da base da cisterna deverá ser:
Considere π = 3.
A1 m.
B2 m.
C3 m.
D4 m.
E5 m.
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GabaritoD — 4 m.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 4 m (alternativa D).
A ideia por trás
O cilindro circular reto é um sólido com base circular e altura perpendicular à base; seu volume mede o espaço interno que ele pode armazenar, dado em metros cúbicos (m³) ou litros (L), sendo 1 m³ = 1000 L. O volume de um cilindro é calculado por V = π·r²·h, onde r é o raio da base e h é a altura (ou profundidade). Essa fórmula mostra que o volume cresce com o quadrado do raio: se o raio dobra, o volume quadruplica (para a mesma altura), e cresce linearmente com a altura. Nesta questão, precisamos primeiro calcular o volume total de água necessário para a demanda das casas, converter esse volume para metros cúbicos, e então usar a fórmula do cilindro para encontrar o raio e, por fim, o diâmetro.
O que a questão dá
profundidade = 4 m
10 casas
4 habitantes por casa
10 dias
consumo médio diário = 120 L por habitante
π = 3
O que queremos: o diâmetro interno da base da cisterna
Passo 1 — Calcular o número total de habitantes
Precisamos saber quantas pessoas a cisterna deve atender para calcular o consumo total. Multiplicamos o número de casas pelo número de habitantes por casa.
Por que esta fórmula: A demanda total depende do número de habitantes, que é o produto das casas pelos habitantes por casa.
De onde vem cada valor: = enunciado: 10 casas · = enunciado: 4 habitantes por casa
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar casas por habitantes, usando apenas 10 ou 4.
Passo 2 — Calcular o consumo diário total
Com o número de habitantes, calculamos quantos litros são consumidos por dia, multiplicando pelo consumo individual.
Por que esta fórmula: O consumo diário total é a soma do consumo de cada habitante, então multiplicamos o número de habitantes pelo consumo por habitante.
De onde vem cada valor: = passo 1: 40 habitantes · = enunciado: consumo médio diário de 120 L por habitante
NÃO CAIA NESSA!
Usar 120 como consumo total, esquecendo de multiplicar pelo número de habitantes.
Passo 3 — Calcular o volume total necessário
A cisterna deve armazenar água para 10 dias, então multiplicamos o consumo diário pelo número de dias.
Por que esta fórmula: O volume total é o consumo diário vezes o número de dias, pois cada dia consome a mesma quantidade.
De onde vem cada valor: = passo 2: 4800 L/dia · = enunciado: 10 dias
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar pelos dias, usando apenas o consumo diário.
Passo 4 — Converter litros para metros cúbicos
A fórmula do volume do cilindro usa metros cúbicos, então precisamos converter o volume de litros para m³. Como 1 m³ = 1000 L, dividimos por 1000.
Por que esta fórmula: A conversão é direta: 1 m³ equivale a 1000 litros, então o número em m³ é o número em litros dividido por 1000.
V_m^3 = (V_total)/(1000)
De onde vem cada valor: = passo 3: 48000 L · = fator de conversão: 1 m³ = 1000 L
V_m^3 = (48000)/(1000) = 48\ m^3
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar por 1000 em vez de dividir, resultando em 48.000.000 m³.
Passo 5 — Aplicar a fórmula do volume do cilindro
Com o volume em m³, usamos a fórmula do cilindro para encontrar o raio. A fórmula relaciona volume, raio e altura.
Por que esta fórmula: O volume de um cilindro é a área da base (πr²) vezes a altura. Como a cisterna é um cilindro reto, essa é a fórmula correta.
De onde vem cada valor: = passo 4: 48 m³ · = enunciado: π = 3 · = enunciado: profundidade = 4 m
NÃO CAIA NESSA!
Usar o diâmetro no lugar do raio na fórmula.
Passo 6 — Isolar o raio ao quadrado
Precisamos resolver a equação para encontrar r. Primeiro, simplificamos o lado direito multiplicando 3 por 4.
Por que esta fórmula: A equação é 48 = 12·r², então dividimos ambos os lados por 12 para isolar r².
De onde vem cada valor: = passo 5: volume em m³ · = passo 5: 3 × 4
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar π por h antes de dividir.
Passo 7 — Calcular o raio
Com r² = 4, tiramos a raiz quadrada para obter o raio.
Por que esta fórmula: A raiz quadrada de r² é r, e a raiz de 4 é 2.
De onde vem cada valor: = passo 6: r² = 4
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que raiz quadrada tem dois valores, mas raio é positivo.
Passo 8 — Calcular o diâmetro
A questão pede o diâmetro, que é o dobro do raio. Muitos erram marcando o raio.
Por que esta fórmula: O diâmetro é duas vezes o raio, pois o diâmetro atravessa o círculo passando pelo centro.