Matemática · FUNDATEC · 2024 | Questão sqc-qg183947

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 2 dias e 22 horas (alternativa B).

A ideia por trás

Quando eventos periódicos começam juntos, o próximo instante em que todos coincidem é o mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos. O MMC é o menor número que é múltiplo de todos os períodos; ele representa o intervalo de tempo em que todos os ciclos se alinham. Para calculá-lo, fatoramos cada número em primos e tomamos os fatores com maior expoente. Nesta questão, precisamos achar o MMC de 10, 7 e 5 horas e depois converter o resultado para dias e horas, pois as alternativas estão nessa unidade.

O que a questão dá

coleta de lixo comum: a cada 10 horas
coleta de materiais recicláveis: a cada 7 horas
coleta de resíduos hospitalares: a cada 5 horas

O que queremos: o tempo até as três coletas coincidirem novamente

Passo 1 — Fatorar cada período em primos

Para calcular o MMC, precisamos decompor cada número em fatores primos. Isso revela os 'blocos' que compõem cada período, permitindo montar o menor múltiplo comum.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é o método padrão para achar o MMC: escrevemos cada número como produto de primos e depois combinamos os fatores com os maiores expoentes.

10 = 2 \times 5, \quad 7 = 7, \quad 5 = 5

De onde vem cada valor: $10$ = enunciado: coleta de lixo comum a cada 10 horas · $7$ = enunciado: coleta de recicláveis a cada 7 horas · $5$ = enunciado: coleta de resíduos hospitalares a cada 5 horas

10 = 2 \times 5, \quad 7 = 7, \quad 5 = 5

10 = 2 × 5; 7 = 7; 5 = 5

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que 7 e 5 são primos e tentar fatorá-los além, ou não incluir o fator 2 do 10.

Passo 2 — Calcular o MMC dos períodos

Com as fatorações prontas, montamos o MMC: pegamos cada fator primo que aparece, com o maior expoente. Isso garante que o resultado seja múltiplo de 10, 7 e 5 ao mesmo tempo.

Por que esta fórmula: O MMC é o produto dos fatores primos comuns e não comuns, cada um elevado ao maior expoente. Aqui, os fatores são 2, 5 e 7, todos com expoente 1.

MMC(10, 7, 5) = 2 \times 5 \times 7

De onde vem cada valor: $2$ = passo 1: fatoração de 10 · $5$ = passo 1: fatoração de 10 e de 5 · $7$ = passo 1: fatoração de 7

MMC = 2 \times 5 \times 7 = \boxed{70\ \text{horas}}

NÃO CAIA NESSA!

Calcular o MDC (que seria 1) em vez do MMC, ou multiplicar apenas os números sem fatorar, obtendo 350.

Passo 3 — Converter 70 horas em dias e horas

As alternativas estão em dias e horas, então precisamos transformar as 70 horas. Como 1 dia tem 24 horas, dividimos 70 por 24 para saber quantos dias completos cabem e quanto sobra.

Por que esta fórmula: A conversão de horas para dias usa a relação 1 dia = 24 horas. A divisão inteira dá o número de dias e o resto dá as horas restantes.

70 \div 24 = 2 \text{ dias e } 22 \text{ horas}

De onde vem cada valor: $70$ = passo 2: MMC = 70 horas · $24$ = enunciado: 1 dia = 24 horas

70 \div 24 = 2 \text{ com resto } 22 = \boxed{2\ \text{dias} \text{e} 22 \text{horas}}

NÃO CAIA NESSA!

Arredondar 70 horas para 3 dias (72 h) sem fazer a divisão exata, caindo na alternativa C.

Resposta: 2 dias e 22 horas (alternativa B)

Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FUNDATEC 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Fatorar cada período em primos

Passo 2 — Calcular o MMC dos períodos

Passo 3 — Converter 70 horas em dias e horas