GabaritoA — Possui dois zeros reais e iguais.
Gabarito: letra A. A função f(x) = 9x² – 6x + 1 possui dois zeros reais e iguais, pois o discriminante Δ = b² – 4ac é igual a zero (Δ = 0). Isso significa que a parábola tangencia o eixo x em um único ponto, ou seja, a raiz é dupla.
A função quadrática é da forma f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. No caso, a = 9, b = –6 e c = 1. O discriminante Δ = b² – 4ac determina a natureza das raízes:
Δ > 0 → duas raízes reais e distintas;
Δ = 0 → duas raízes reais e iguais (raiz dupla);
Δ < 0 → nenhuma raiz real.
Calculando: Δ = (–6)² – 4·9·1 = 36 – 36 = 0. Como Δ = 0, a função tem uma raiz real dupla, que é x = –b/(2a) = 6/18 = 1/3. Portanto, a alternativa A está correta.
A concavidade da parábola é voltada para cima (a = 9 > 0), logo o vértice é um ponto de mínimo, não de máximo. O valor mínimo ocorre em x = 1/3, e o valor mínimo é f(1/3) = 0. As demais alternativas apresentam erros conceituais ou de cálculo.
A função tem dois zeros reais e iguais, pois Δ = 0. A raiz dupla é x = 1/3. Isso é confirmado pelo cálculo do discriminante: Δ = (–6)² – 4·9·1 = 0.
Afirma que o ponto de máximo ocorre quando x = 1. Erro duplo: primeiro, como a = 9 > 0, a parábola tem concavidade para cima, portanto o vértice é um ponto de mínimo, não de máximo. Segundo, o x do vértice é x_v = –b/(2a) = –(–6)/(2·9) = 6/18 = 1/3, e não 1.
Afirma que a função possui dois zeros reais e distintos. Isso ocorreria se Δ > 0, mas aqui Δ = 0. Portanto, as raízes são iguais, não distintas.
Afirma que o valor mínimo da função é y = –1. O valor mínimo (y do vértice) é y_v = –Δ/(4a) = –0/(4·9) = 0. Como a parábola tem concavidade para cima, o valor mínimo é 0, não –1.
Afirma que a função não possui zeros reais. Isso ocorreria se Δ < 0, mas Δ = 0, logo a função possui uma raiz real dupla (dois zeros reais e iguais).
A banca explora a confusão entre Δ = 0 e Δ < 0. Muitos candidatos, ao verem que a função não corta o eixo x em dois pontos, concluem que não há raízes reais. Mas Δ = 0 significa que a parábola tangencia o eixo x, ou seja, há uma raiz dupla — dois zeros reais e iguais. Lembre-se: Δ = 0 → raiz dupla; Δ < 0 → nenhuma raiz real.
Para resolver rapidamente, calcule Δ = b² – 4ac. Se Δ = 0, a alternativa que diz "dois zeros reais e iguais" é a correta. Se Δ > 0, "distintos"; se Δ < 0, "não possui zeros reais".
Gabarito: letra A
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