GabaritoB — 20.
Gabarito: letra B — a conta chega a AC = 20 cm, alternativa B..
No triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo em dois triângulos menores semelhantes, gerando relações métricas que ligam a altura, as projeções dos catetos e os próprios catetos. A relação h² = m·n diz que o quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa; a relação b² = a·n diz que o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto. Essas relações permitem encontrar medidas desconhecidas sem usar diretamente o Teorema de Pitágoras. Nesta questão, precisamos primeiro descobrir a projeção DC usando a altura, depois usar a relação do cateto para achar AC.
triângulo ABC retângulo em A
AD = 12 cm (altura relativa à hipotenusa)
BD = 9 cm (projeção do cateto AB sobre a hipotenusa)
AB = 12 cm (cateto)
O que queremos: a medida do cateto AC
Antes de aplicar qualquer fórmula, precisamos saber qual lado é a hipotenusa e quais segmentos são as projeções. No triângulo retângulo em A, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, ou seja, BC. A altura AD parte do vértice A e encontra a hipotenusa no ponto D, dividindo-a em dois segmentos: BD e DC. Esses segmentos são as projeções dos catetos AB e AC sobre a hipotenusa.
Achar que a altura é relativa ao cateto AB, quando na verdade é relativa à hipotenusa BC.
Temos a altura AD e uma das projeções (BD), e precisamos da outra projeção (DC) para depois achar o cateto AC. A relação h² = m·n liga exatamente esses três valores: o quadrado da altura é igual ao produto das projeções. Como conhecemos h e m, podemos isolar n.
Por que esta fórmula: Esta é uma das relações métricas do triângulo retângulo: o quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto das projeções dos catetos sobre ela. É a fórmula que envolve diretamente a altura e as projeções, por isso é a primeira a usar.
De onde vem cada valor: = enunciado: AD = 12 cm · = enunciado: BD = 9 cm · = incógnita: DC
Esquecer de elevar a altura ao quadrado, usando 12 em vez de 144.
Agora que conhecemos as duas projeções (BD e DC), podemos somá-las para obter a hipotenusa inteira BC. Isso será necessário na próxima relação para achar o cateto AC.
Por que esta fórmula: A hipotenusa é a soma das duas projeções, pois o ponto D divide o segmento BC em duas partes.
De onde vem cada valor: = enunciado: 9 cm · = passo 2: 16 cm
Esquecer de somar as projeções e tentar usar BC = 9 ou outro valor.
Queremos o cateto AC. A relação b² = a·n liga o quadrado de um cateto ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto. A projeção de AC sobre a hipotenusa é DC, que já conhecemos. Então podemos isolar AC.
Por que esta fórmula: Esta é outra relação métrica: o quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto sobre ela. Como temos a hipotenusa e a projeção do cateto AC, esta é a fórmula certa.
De onde vem cada valor: = passo 3: 25 cm · = passo 2: 16 cm
Usar BD em vez de DC como projeção do cateto AC.
A relação anterior deu o quadrado do cateto. Para obter a medida do lado, precisamos extrair a raiz quadrada, pois o comprimento é positivo.
Por que esta fórmula: A raiz quadrada desfaz a potenciação: se AC² = 400, então AC = √400.
De onde vem cada valor: = passo 4: 400
Esquecer a raiz e marcar 400 como resposta.
Resposta: AC = 20 cm, alternativa B.
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