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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — FUNDATEC 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
qg184742
Banca
FUNDATEC
Órgão
SIMAE - SC
Ano
2024
Nível
Superior
Um recipiente contém 8 litros de uma mistura de álcool e água na proporção de 5:3, respectivamente. Quantos litros de água devem ser adicionados para que a proporção na mistura se torne 2:3?
  1. A3.
  2. B3.5.
  3. C4.
  4. D4,5.
  5. E5.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 4,5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 4,5 litros (alternativa D).

A ideia por trás

Uma proporção compara duas grandezas: diz quantas partes de uma existem para cada parte da outra. Numa mistura de álcool e água, a proporção 5:3 significa que, a cada 5 partes de álcool, há 3 de água — juntas formam 8 partes, que correspondem ao volume total. Quando se adiciona apenas água, a quantidade de álcool não muda; é ela que serve de referência fixa para recalcular a nova proporção. Nesta questão, usamos a razão final 2:3 para descobrir quanto de água é necessário no total, e depois subtraímos a água que já existia.

O que a questão dá

  • volume total da mistura = 8 litros

  • proporção inicial álcool:água = 5:3

  • proporção final desejada álcool:água = 2:3

O que queremos: quantos litros de água devem ser adicionados

Passo 1 — Descobrir as quantidades iniciais de álcool e água

Precisamos saber quanto de cada substância já existe para depois calcular quanto de água falta adicionar. A proporção 5:3 divide o total de 8 litros em 8 partes iguais: cada parte vale 1 litro.

Por que esta fórmula: A proporção 5:3 significa que o total é dividido em 5+3=8 partes. O volume de cada parte é o total dividido pelo número de partes.

parte=Vtotal5+3\text{parte} = \frac{V_{total}}{5+3}

De onde vem cada valor: VtotalV_{total} = enunciado: 8 litros · 5+35+3 = enunciado: proporção 5:3

parte=88=1=1 litroporparte\text{parte} = \frac{8}{8} = 1 = \boxed{1\ \text{litro} \text{por} \text{parte}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a proporção soma as partes e tentar dividir 8 por 5 ou por 3 diretamente.

Passo 2 — Calcular o volume inicial de álcool e de água

Com o valor de cada parte, multiplicamos pelo número de partes de cada substância para obter os volumes iniciais. Isso é necessário porque a água adicionada será calculada a partir da diferença entre o total final e o inicial.

Por que esta fórmula: O volume de cada componente é o número de partes vezes o volume de uma parte.

Valcool=5×parte,Vagua=3×parteV_{alcool} = 5 \times \text{parte}, \quad V_{agua} = 3 \times \text{parte}

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: proporção 5:3 (álcool) · 33 = enunciado: proporção 5:3 (água) · parte\text{parte} = passo 1: 1 litro

Valcool=5×1=5,Vagua=3×1=3V_{alcool} = 5 \times 1 = 5, \quad V_{agua} = 3 \times 1 = 3

álcool = 5 L, água = 3 L

NÃO CAIA NESSA!

Confundir a ordem da proporção e trocar os valores de álcool e água.

Passo 3 — Montar a proporção final com o álcool fixo

Ao adicionar apenas água, o álcool permanece 5 litros. A nova proporção 2:3 relaciona esse álcool fixo com a água total que queremos descobrir. Essa é a âncora do problema.

Por que esta fórmula: A razão entre álcool e água deve ser 2/3. Como o álcool é conhecido, isolamos a água total.

ValcoolVagua total=23\frac{V_{alcool}}{V_{agua\ total}} = \frac{2}{3}

De onde vem cada valor: ValcoolV_{alcool} = passo 2: 5 litros · 23\frac{2}{3} = enunciado: proporção final 2:3

5Vagua total=23\frac{5}{V_{agua\ total}} = \frac{2}{3}
NÃO CAIA NESSA!

Montar a proporção ao contrário, colocando água sobre álcool, o que inverte o resultado.

Passo 4 — Isolar a água total na equação

Precisamos do valor numérico da água total para saber quanto adicionar. Multiplicar cruzado transforma a proporção em uma equação simples.

Por que esta fórmula: Multiplicação cruzada: em uma igualdade de frações, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Vagua total=5×32V_{agua\ total} = \frac{5 \times 3}{2}

De onde vem cada valor: 55 = passo 2: volume de álcool · 33 = enunciado: numerador da proporção final (2:3) · 22 = enunciado: denominador da proporção final (2:3)

Vagua total=5×32=152=7,5=7,5 litrosV_{agua\ total} = \frac{5 \times 3}{2} = \frac{15}{2} = 7{,}5 = \boxed{7{,}5\ \text{litros}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação cruzada, por exemplo fazendo 5×2 em vez de 5×3.

Passo 5 — Subtrair a água inicial para achar a adicionada

A água total calculada inclui a que já existia. Para saber quanto adicionar, subtraímos o volume inicial de água.

Por que esta fórmula: A quantidade adicionada é a diferença entre o total final e o inicial.

Vadicionada=Vagua total−Vagua inicialV_{adicionada} = V_{agua\ total} - V_{agua\ inicial}

De onde vem cada valor: Vagua totalV_{agua\ total} = passo 4: 7,5 litros · Vagua inicialV_{agua\ inicial} = passo 2: 3 litros

Vadicionada=7,5−3=4,5=4,5 litrosV_{adicionada} = 7{,}5 - 3 = 4{,}5 = \boxed{4{,}5\ \text{litros}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair a água inicial e marcar 7,5 como resposta.

Resposta: 4,5 litros (alternativa D)

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