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Questão de Matemática — Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo, Leis dos Senos e Cossenos. — FUNDATEC 2024

MatemáticaRelações Trigonométricas no Triângulo Retângulo, Leis dos Senos e Cossenos.
Código
qg184854
Banca
FUNDATEC
Órgão
UERGS
Ano
2024
Nível
Médio
Em um triângulo retângulo, um dos ângulos internos mede 30º, e o cateto oposto ao referido ângulo, 5 cm. Qual é, em centímetros, o comprimento da hipotenusa desse triângulo?
  1. A20.
  2. B5√2.
  3. C15.
  4. D10.
  5. E5√3.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 10.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 10 cm (alternativa D).

A ideia por trás

A trigonometria no triângulo retângulo estuda as relações entre os lados e os ângulos agudos. Para um ângulo agudo θ, o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, o cosseno entre o cateto adjacente e a hipotenusa, e a tangente entre o cateto oposto e o adjacente. Essas razões são constantes para um mesmo ângulo, independentemente do tamanho do triângulo. Para o ângulo de 30°, o seno vale 1/2, o cosseno √3/2 e a tangente √3/3. Nesta questão, temos o cateto oposto e queremos a hipotenusa, então a relação que envolve exatamente esses dois lados é o seno. Basta aplicar a definição e resolver a equação.

O que a questão dá

  • ângulo agudo = 30°

  • cateto oposto ao ângulo de 30° = 5 cm

O que queremos: o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo

Passo 1 — Identificar a razão trigonométrica certa

Precisamos escolher qual razão liga o cateto oposto (5 cm) com a hipotenusa (que queremos). O seno é definido exatamente como cateto oposto sobre hipotenusa, então é ele que usamos. Cosseno e tangente envolvem o cateto adjacente, que não foi dado.

Por que esta fórmula: A definição de seno no triângulo retângulo é a única que relaciona diretamente o cateto oposto e a hipotenusa, que são os dois lados envolvidos na questão.

sin⁡(θ)=cateto opostohipotenusa\sin(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}

De onde vem cada valor: θ\theta = enunciado: 30° · cateto oposto\text{cateto oposto} = enunciado: 5 cm · hipotenusa\text{hipotenusa} = é o que queremos descobrir

NÃO CAIA NESSA!

Usar cosseno ou tangente, que envolvem o cateto adjacente, levando a respostas erradas como 5√3.

Passo 2 — Substituir os valores na fórmula

Agora que sabemos que o seno é a razão certa, colocamos os números: o ângulo é 30° e o cateto oposto é 5 cm. Isso transforma a fórmula genérica em uma equação com uma incógnita.

Por que esta fórmula: É a mesma fórmula do passo anterior, apenas com os valores do enunciado no lugar das letras.

sin⁡(30°)=5h\sin(30°) = \frac{5}{h}

De onde vem cada valor: sin⁡(30°)\sin(30°) = valor conhecido: 1/2 (ângulo notável) · 55 = enunciado: cateto oposto = 5 cm · hh = hipotenusa, que queremos

12=5h\frac{1}{2} = \frac{5}{h}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que sen 30° = 1/2 e usar outro valor, como √3/2.

Passo 3 — Isolar a hipotenusa na equação

Temos uma equação com a hipotenusa no denominador. Para descobrir seu valor, precisamos isolá-la. Multiplicar cruzado é o jeito mais direto: 1/2 = 5/h vira h = 5 × 2.

Por que esta fórmula: Multiplicação cruzada é a forma de resolver uma proporção: se a/b = c/d, então a·d = b·c. Aqui, 1·h = 2·5.

h=5×2h = 5 \times 2

De onde vem cada valor: 55 = passo 2: cateto oposto · 22 = passo 2: inverso de 1/2 (multiplicação cruzada)

h=5×2=10 cmh = 5 \times 2 = \boxed{10\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a fração e calcular h = 5/2 = 2,5 cm, o que daria uma hipotenusa menor que o cateto, impossível.

Resposta: 10 cm (alternativa D)

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