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Questão de Matemática — Análise Combinatória em Matemática — IBFC 2024

MatemáticaAnálise Combinatória em Matemática
Código
qg219231
Banca
IBFC
Órgão
Polícia Penal - GO
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Policial Penal
De um grupo de 10 funcionários de uma empresa, entre eles Isabel e Laura, será formada uma comissão de 5 funcionários, que ficarão responsáveis pela organização da festa de fim de ano da empresa. Isabel e Laura devem necessariamente participar da comissão, pois são da área de eventos. Assinale a alternativa que apresenta a quantidade correta de comissões que podem ser formadas de acordo com as condições colocadas.
  1. A56
  2. B30240
  3. C336
  4. D252
  5. E120
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GabaritoA — 56

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 56 comissões (alternativa A).

A ideia por trás

A combinação simples é usada quando escolhemos um subconjunto de elementos de um conjunto maior, sem nos importar com a ordem e sem repetição. Ela responde à pergunta 'de quantas maneiras posso escolher k elementos entre n disponíveis?'. A fórmula é C(n,k) = n! / (k! (n-k)!). O fatorial n! é o produto de todos os inteiros de 1 até n, e a divisão por k! e (n-k)! elimina as contagens repetidas que viriam da ordem. Quando aumentamos n, o número de combinações cresce; quando aumentamos k, ele cresce até um máximo e depois diminui. Nesta questão, como Isabel e Laura são obrigatórias, elas já ocupam duas vagas, então precisamos escolher os outros três entre os oito restantes. A ordem não importa, pois uma comissão é um conjunto de pessoas, não uma sequência.

O que a questão dá

  • total de funcionários = 10

  • vagas na comissão = 5

  • Isabel e Laura obrigatórias

O que queremos: o número de comissões possíveis com Isabel e Laura incluídas

Passo 1 — Calcular quantos funcionários restam

Precisamos saber de quantas pessoas podemos escolher os membros restantes da comissão. Como Isabel e Laura já estão garantidas, elas ocupam duas vagas, então subtraímos essas duas do total de 10 funcionários.

8=10−28 = 10 - 2

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: total de funcionários · 22 = enunciado: Isabel e Laura obrigatórias

8=10−28 = 10 - 2

88 = 8 funcionários restantes

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair as duas obrigatórias e usar 10 como base.

Passo 2 — Calcular quantas vagas sobram

A comissão tem 5 vagas no total, e Isabel e Laura já ocupam 2. Precisamos saber quantas vagas ainda precisam ser preenchidas para escolher os outros membros.

3=5−23 = 5 - 2

De onde vem cada valor: 55 = enunciado: vagas na comissão · 22 = enunciado: Isabel e Laura obrigatórias

3=5−23 = 5 - 2

33 = 3 vagas restantes

NÃO CAIA NESSA!

Usar 5 como número de escolhas, sem descontar as obrigatórias.

Passo 3 — Montar a combinação de 8 escolhendo 3

Agora temos 8 funcionários disponíveis e precisamos escolher 3 para completar a comissão. Como a ordem não importa, usamos combinação simples, que conta os grupos sem repetir as ordens.

Por que esta fórmula: A fórmula da combinação é C(n,k) = n! / (k! (n-k)!). Ela é a correta porque queremos formar um grupo (comissão) onde a ordem de escolha não importa. Se fosse um arranjo, a ordem importaria, mas aqui não.

C8,3=8!3!⋅(8−3)!C_{8,3} = \frac{8!}{3! \cdot (8-3)!}

De onde vem cada valor: 88 = passo 1: funcionários restantes · 33 = passo 2: vagas restantes

C8,3=8!3!⋅5!C_{8,3} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}
NÃO CAIA NESSA!

Usar arranjo A(8,3) = 876 = 336, que considera a ordem, mas a ordem não importa.

Passo 4 — Simplificar os fatoriais

Para calcular a combinação, precisamos simplificar a expressão com fatoriais. Como 8! = 876*5!, podemos cancelar o 5! do numerador com o 5! do denominador, facilitando a conta.

Por que esta fórmula: A simplificação usa a propriedade do fatorial: n! = n*(n-1)!. Isso permite cancelar termos comuns e reduzir o cálculo a uma multiplicação simples.

C8,3=8×7×6×5!3!×5!C_{8,3} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3! \times 5!}

De onde vem cada valor: 8×7×68 \times 7 \times 6 = passo 3: expansão de 8! até 5! · 5!5! = passo 3: fatorial de 5 no denominador

C8,3=8×7×6×5!3×2×1×5!C_{8,3} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3 \times 2 \times 1 \times 5!}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de cancelar o 5! e tentar calcular 8! inteiro, o que dá um número enorme.

Passo 5 — Calcular o valor final

Após cancelar os 5!, resta uma divisão simples: (876) / (321). Resolvendo essa conta obtemos o número de comissões possíveis.

Por que esta fórmula: A divisão é a simplificação da combinação. O numerador é o produto dos três números decrescentes a partir de 8, e o denominador é o fatorial de 3.

C8,3=8×7×63×2×1C_{8,3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1}

De onde vem cada valor: 8×7×68 \times 7 \times 6 = passo 4: numerador após cancelar 5! · 3×2×13 \times 2 \times 1 = passo 4: denominador 3!

C8,3=3366=56 comisso~esC_{8,3} = \frac{336}{6} = \boxed{56\ \text{comiss}õ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação: 87=56, 566=336, e 321=6, 336/6=56. Alguns podem calcular 876 = 336 e esquecer de dividir por 6, obtendo 336 (alternativa C).

Resposta: 56 comissões (alternativa A)

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