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Questão de Matemática — Aritmética e Problemas — INSTITUTO AOCP 2024

MatemáticaAritmética e Problemas
Código
qg261523
Banca
INSTITUTO AOCP
Órgão
DEPPEN-PR
Ano
2024
Nível
Superior
Cargo
Policial Penal - Todas as Regiões
Certa unidade do sistema prisional tem encontrado algumas dificuldades por conta de constantes episódios de interrupções no abastecimento de água naquela localidade. Na busca por meios para resolver esse problema, foi feito um levantamento da quantidade total de água utilizada nessa unidade e pretende-se, a partir desse dado, construir uma caixa d’água, com a forma de um cilindro reto, apoiado sobre uma de suas bases circulares. Sobre o consumo, sabe-se que são necessários 169.560 litros de água diariamente. Sabe-se, também, que o diâmetro da base da caixa d’água é igual a 6 metros. Se a empresa de abastecimento de água assegura que é capaz de fornecer esse volume de água diariamente, apesar de diversas interrupções no decorrer do dia, determine a altura, em metros, necessária para que a caixa d’água comporte 169.560 litros de água e assinale a alternativa correta. (Use π = 3,14)
  1. A7,5 m.
  2. B7,0 m.
  3. C6,5 m.
  4. D6,0 m.
  5. E5,5 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 6,0 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 6,0 m — alternativa D.

A ideia por trás

O volume de um cilindro reto mede o espaço que ele ocupa, e é calculado pela área da base circular multiplicada pela altura. A unidade de volume no Sistema Internacional é o metro cúbico (m³), que corresponde ao espaço de um cubo de 1 metro de aresta. Já o litro é uma unidade de capacidade, muito usada para líquidos, e equivale a 1 decímetro cúbico (dm³). Como 1 m³ contém 1000 litros, para usar a fórmula do volume com as dimensões em metros, precisamos converter o volume dado em litros para metros cúbicos. A fórmula do volume do cilindro é V = π·r²·h, onde r é o raio da base e h é a altura. Se o raio aumenta, o volume cresce com o quadrado dele; se a altura aumenta, o volume cresce proporcionalmente. Nesta questão, conhecemos o volume e o diâmetro, então precisamos achar o raio (metade do diâmetro) e isolar a altura na fórmula.

O que a questão dá

  • volume de água = 169.560 litros

  • diâmetro da base = 6 m

  • π = 3,14

O que queremos: a altura da caixa d'água cilíndrica, em metros

Passo 1 — Calcular o raio da base

A fórmula do volume do cilindro usa o raio da base circular, mas o enunciado fornece o diâmetro. O raio é a metade do diâmetro, pois o diâmetro é a distância de uma borda à outra passando pelo centro.

Por que esta fórmula: O raio é sempre metade do diâmetro em qualquer círculo.

r=d2r = \frac{d}{2}

De onde vem cada valor: dd = enunciado: diâmetro = 6 m

r=62=3 mr = \frac{6}{2} = \boxed{3\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar o diâmetro (6 m) como se fosse o raio na fórmula do volume, o que quadruplica o volume calculado.

Passo 2 — Converter litros para metros cúbicos

A fórmula do volume do cilindro exige que o volume esteja em metros cúbicos, pois as dimensões estão em metros. O litro é uma unidade de capacidade que equivale a 1 dm³, e 1 m³ contém 1000 litros. Por isso, precisamos dividir o valor em litros por 1000 para obter o volume em m³.

Por que esta fórmula: A relação entre litro e metro cúbico é fixa: 1 m³ = 1000 L, então para converter de litros para m³ divide-se por 1000.

V_m^3 = (V_litros)/(1000)

De onde vem cada valor: VlitrosV_{litros} = enunciado: 169.560 litros

V_m^3 = (169560)/(1000) = 169,56\ m^3
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer a conversão e usar 169.560 como se fosse m³, resultando em uma altura absurda de milhares de metros.

Passo 3 — Montar a equação do volume

Com o raio e o volume convertido, podemos substituir esses valores na fórmula do volume do cilindro para encontrar a altura. A fórmula relaciona as três grandezas: volume, raio e altura.

Por que esta fórmula: O volume de um cilindro é a área da base circular (πr²) multiplicada pela altura (h). É a fórmula que define o volume de qualquer cilindro reto.

V=π⋅r2⋅hV = \pi \cdot r^{2} \cdot h

De onde vem cada valor: VV = passo 2: 169,56 m³ · π\pi = enunciado: 3,14 · rr = passo 1: 3 m

169,56=3,14⋅32⋅h169{,}56 = 3{,}14 \cdot 3^{2} \cdot h
NÃO CAIA NESSA!

Inverter os valores ou usar o diâmetro no lugar do raio.

Passo 4 — Calcular o quadrado do raio

Na fórmula, o raio está elevado ao quadrado. Precisamos calcular 3² para simplificar a equação antes de isolar a altura.

Por que esta fórmula: O quadrado do raio é a área de um quadrado de lado igual ao raio, e aparece na fórmula da área do círculo.

r2=32r^{2} = 3^{2}

De onde vem cada valor: rr = passo 1: 3 m

r2=9=9 m2r^{2} = 9 = \boxed{9\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado e usar 3 em vez de 9.

Passo 5 — Multiplicar π pelo quadrado do raio

Agora que temos o raio ao quadrado, multiplicamos por π para obter a área da base circular. Esse valor será usado para isolar a altura.

Por que esta fórmula: A área da base do cilindro é πr², que é a área de um círculo de raio r.

Abase=π⋅r2A_{base} = \pi \cdot r^{2}

De onde vem cada valor: π\pi = enunciado: 3,14 · r2r^{2} = passo 4: 9 m²

Abase=3,14⋅9=28,26 m2A_{base} = 3{,}14 \cdot 9 = \boxed{28{,}26\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar 3,14 · 3 em vez de 3,14 · 9, esquecendo o quadrado.

Passo 6 — Isolar a altura na equação

Com o volume e a área da base conhecidos, a altura é a única incógnita. Para encontrá-la, dividimos o volume pela área da base, pois a fórmula do volume é V = A_base · h.

Por que esta fórmula: A altura é o volume dividido pela área da base, pois h = V / (πr²).

h = fracVπ · r^2

De onde vem cada valor: VV = passo 2: 169,56 m³ · π⋅r2\pi \cdot r^{2} = passo 5: 28,26 m²

h=169,5628,26=6,0 mh = \frac{169{,}56}{28{,}26} = \boxed{6{,}0\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a divisão ou inverter numerador e denominador.

Resposta: 6,0 m — alternativa D

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